Barisan dan Deret: Aritmatika, Geometri, Rumus, Contoh Soal

By

barisan dan deret

Baris dan deret aritmatika di dalam ilmu bidang matematika adalah sebuah jenis barisan serta deret bilangan yang dimana bilangan selanjutnya ialah sebuah penambahan bilangan dari sebelumnya dengan suatu bilangan beda tertentu.

Barisan adalah sebuah urutan dari suatu anggota himpunan dari berdasarkan suatu aturan tertentu saja. Yang pada anggota himpunan diurutkan pada urutan atau suku pertama, kedua, dan selanjutnya, untuk bisa menyatakan sebuah urutan atau suku ke n dari suatu barisan akan dilambangkan dengan Un. Barisan juga bisa didefinisikan sebagai fungsi dari bilangan asli atau fungsi yang domain nya himpunan bilangan yang asli jadi Un = f (n ).

Berikut adalah contohnya 3, 5, 7, 9, 11, 13,.. barisan aritmatika tersebut juga dapat dinyatakan dengan penggunaan rumus sebagai berikut ini : a, a + b, a + 2b, a + 3b,….. untuk informasi selengkapnya tentang barisan dan deret aritmatika simak penjelasan berikut ini dari atas sampai bawah!

 

Rumus Aritmatika

barisan dan deret

1. Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika adalah sebuah baris yang nilai pada setiap sukunya diperoleh dari suku yang sebelumnya sudah melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b. Selisih antara nilai suku suku yang berdekatan akan selalu sama yaitu b. Yang nantinya akan menjadi.

barisan aritmatika 1

Sebagai bahan pertimbangan kalian, contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, adalah baris aritmatika dengan nilai B = ( 9 – 7 ) = ( 7 – 5 ) = ( 5 – 3 ) = ( 3 – 1 ) = 2. Untuk bisa mengetahui bahwa nilai suku n adalah dari suatu barisan aritmatika bisa diketahui dengan kalian mengetahui bahwa nilai suku ke k dan selisih antara suku yang sedang berdekatan atau b . rumusnya sebagai berikut.

barisan aritmatika 2

Apabila yang diketahui ialah sebuah nilai dari suku pertama Uk = a dan selisih di antara sukunya atau b, maka nilai dari k = 1 dan nilai dari Un ialah sebagai berikut :

barisan aritmatika 3

 

2. Deret Aritmatika

Deret aritmatika merupakan sebuah penjumlahan suku suku dari suatu barisan aritmatika. Kemudian penjumlahan dari suku suku pertama itu sampai ke suku n barisan aritmatika sehingga bisa dihitung sebagai berikut:

deret aritmatika 1

Atau bisa juga sebagai:

deret aritmatika 2

Apabila hanya diketahui nilai a maka dari suku pertama dan nilai ialah suku ke n, maka dari deret aritmatikanya ialah :

deret aritmatika 3

Dari persamaan tersebut kita bisa dibalik untuk mencari tau nilai suku ke n akan menjadi :

deret aritmatika 4

Sisipan

Apabila kalian hendak membuat sebuah baris aritmatika dengan sudah diketahui nilai suku pertama / a dan suku terakhirnya / p, maka bisa disisipkan sejumlah bilangan diantara kedua bilangan tersebut itu. Sehingga jumlah q buah itu akan menjadi suku suku baris aritmatika dan mempunyai selisih antar suku berdekatan / b. Baris aritmatika itu akan mempunyai jumlah suku q + 2 dan di urutkan sebagai berikut:

sisipan aritmatika 1

Diketahui bahwa suku yang terakhir ialah :

sisipan aritmatika 2

Maka dari itu, nilai b bisa kita tentukan sebagai berikut :

sisipan aritmatika 3

Contohnya ialah a = 1 dan p = 9, apabila akan disisipkan dengan 3 bilangan diantaranya a dan juga p, maka barisan bilangan aritmatikanya ialah sebagai berikut:

sisipan aritmatika 4

Suku Tengah

Apabila suatu barisan aritmatika mempunyai jumlah suku ganjil maka akan mempunyai suku tengah. Dari suku tengah dari baris aritmatika ialah suku ke 1/2 ( n + 1 ). Apabila dibereskan di dalam rumus akan seperti ini Un = a + ( n – 1 ) b . maka dari nilai suku tengah bisa di dapatkan:

suku tengah aritmatika

Baca Juga : Rumus Keliling Segitiga

 

 

Rumus Geometri

barisan dan deret

1. Barisan Geometri

Barisan geometri merupakan suatu baris yang nilainya pada setiap suku bisa diperoleh dari suku sebelumnya bisa dengan perkalian lalu suatu bilangan r . perbandingan atau rasio dari antara nilai suku dengan nilai suku sebelumnya yang saling berdekatan selalu sama yaitu r. Sehingga bisa menjadi :

barisan geometri 1

Sebagai bahan pertimbangan contoh baris nya 1, 2, 3, 4, 8, 16 adalah sebuah baris geometri dengan nilai sebagai berikut:

barisan geometri 2

Untuk bisa mengetahui bahwa nilai suku ke n dari suatu barisan geomtri bisa di ketahui dengan mengetahui nilai dari suku ke k dan rasio antara suku yang saling berdekata / r rumusnya akan sebagai berikut:

barisan geometri 3

Apabila yang kalian ketahui ialah nilai dari suku pertama Uk = a dan rasio dari antar sukunya / r , maka nilai dari k = 1 dan nilai Un ialah

barisan geometri 4

 

2. Deret Geometri

Deret geometri ialah suatu penjumlahan dari suku suku suatu barisan geometri, yang artinya penjumlahan dari suku suku pertama hingga suku ke n barisan geometri bisa kalian hitung sebagai berikut:

deret geometri 1

Atau bisa juga dihitung sebagai berikut:

deret geometri 2

Apabila hanya diketahui nilai a maka suku pertama dan nilai dari Un ialah suku ke n, maka nantinya nilai deret aritmatikannya ialah :

deret geometri 3

Tetapi dengan syarat bahwa 0 < r < 1 , atau bisa juga dengan :

deret geometri 4

Dengan syarat bahwa r > 1
Dari persamaan tersebut bisa kalian balik untuk bisa mencari nilai dari suku ke n, yaitu cara untuk mendapatkannya sama dengan deret aritmatika dengan rumus :

deret geometri 5

Sisipan

Sisipan apabila kalian ingin membuat suatu baris geometri dengan sudah mengetahui nilai dari suku pertama / a dan juga suku terakhirnya / p, bisa disisipkan dengan sejumlah bilangan pada dinatara kedua bilangan itu sendiri. Sejumlah bilangan / q buah tersebut akan menjadi suku suku dari baris geometri dan mempunyai rasio antar suku yang berdekatan / r. Pada baris itu juga mempunyai banyak suku q + 2 dan bisa di urutkan menjadi :

sisipan geometri 1

Yang dimana suku terakhir tersebut:

sisipan geometri 2

Yang nantinya nilai r itu bisa ditentukan sebagai berikut :

sisipan geometri 3

 

3. Deret Geometri Tak Terhingga

Deret geometri tak terhingga adalah suatu deret geometri yang bisa menjumlahkan suku sukunya hingga menuju tak terhingga, apabila suatu deret geometri menuju tidak hingga yang dimana n > 00 ( tak terbatas), maka deret tersebut bisa dijumlahkan menjadi rumus berikut :

geometri tak hingga 1

Atau juga bisa dengan menggunakan rumus berikut.

geometri tak hingga 2

Deret geometri tak terhingga akan terdiri dari 2 jenis yaitu konvergen dan divergen. Yaitu deret geometri tak terhingga yang bersifat konvergen apabila penjumlahan dari suku sukunya menuju atau bisa mendekati dari suatu bilangan tertentu, namun sedangkan yang bersifat divergen apabila penjumlahan dari suku sukunya tidak terbatas, nilai deret geometri tidak terhingga bisa didapat dengan menggunakan rumus limit. Yang sebelumnya diketahui bahwa nilai deret geometri ialah :

geometri tak hingga 3

Yang dimana adanya unsur R’n didalam perhitungan yang akan terpengaruh dari jumlah suku n. Apabila n > 00 ( tak terbatas ) , maka untuk bisa menentukan nilai r’n bisa menggunakan rumus limit berikut:

geometri tak hingga 4

Dengan syarat bahwa -1 < r < 1 dan juga

geometri tak hingga 5

Dengan syarat bahwa r < -1 atau juga r > 1.
Lalu hasil dari limit r’ n itu bisa dimasukan ke dalam perhitungan deret sebagai berikut :

geometri tak hingga 6

Dengan syarat bahwa -1 < r < 1 dan juga

geometri tak hingga 7

Dengan syarat bahwa r < -1 atau r > 1

Baca Juga : Jenis – Jenis Bilangan Bulat

 

 

Contoh Soal Aritmatika dan Geometri

barisan dan deret

Berikut ini adalah beberapa contoh soal aritmatika dan geometri, antara lain.

 

1. Soal Deret Aritmatika

Pada suatu deret aritmatika yang mempunyai suku ke 5 sama dengan 42, da juga suku ke 8 sama dengan 15, maka jumlah dari 12 suku pertama deret tersebut ialah?

soal aritmatika 1

soal aritmatika 2

2. Deret Geometri

Apabila jumlah dari 2 suku pertama geometri ialah 6 dan jumlah 4 suku pertama ialah 54, dan memiliki rasio positid, maka tentukanlah jumlah 6 suku pertama dari deret tersebut!

soal geometri 1

soal geometri 2

 

3. Geometri Tidak Terhingga

soal tak hingga 1

 

Nah itulah pembahasan lengkap mengenai barisan deret aritmatika dan geometri, dengan kalian mebaca artikel ini mudah mudahan paham betul apa si itu aritmatika dan geometri dan bisa mengerjakan soal soalnya karena pada artikel ini sudah dijelaskan dengan rinci bagaimana rumus rumusnya dari aritmatika dan geometri, semoga sukses, dan kurang lebihnya mohon maaf terima kasih.


Hasif Priyambudi Aku tidak bisa mendengarmu spongebob, disini gelap


Baca Lainya Tastynesia:
  1. Kue Balok
  2. Klepon
  3. Kue Pancong
  4. Kue Lumpur
  5. Bolu Kukus
  6. Tinggalkan Balasan

    Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *