Baris dan deret aritmatika di dalam ilmu bidang matematika adalah sebuah jenis barisan serta deret bilangan yang dimana bilangan selanjutnya ialah sebuah penambahan bilangan dari sebelumnya dengan suatu bilangan beda tertentu.
Barisan adalah sebuah urutan dari suatu anggota himpunan dari berdasarkan suatu aturan tertentu saja. Yang pada anggota himpunan diurutkan pada urutan atau suku pertama, kedua, dan selanjutnya, untuk bisa menyatakan sebuah urutan atau suku ke n dari suatu barisan akan dilambangkan dengan Un. Barisan juga bisa didefinisikan sebagai fungsi dari bilangan asli atau fungsi yang domain nya himpunan bilangan yang asli jadi Un = f (n ).
Berikut adalah contohnya 3, 5, 7, 9, 11, 13,.. barisan aritmatika tersebut juga dapat dinyatakan dengan penggunaan rumus sebagai berikut ini : a, a + b, a + 2b, a + 3b,….. untuk informasi selengkapnya tentang barisan dan deret aritmatika simak penjelasan berikut ini dari atas sampai bawah!
Daftar Isi
Rumus Aritmatika
1. Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika adalah sebuah baris yang nilai pada setiap sukunya diperoleh dari suku yang sebelumnya sudah melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b. Selisih antara nilai suku suku yang berdekatan akan selalu sama yaitu b. Yang nantinya akan menjadi.
Sebagai bahan pertimbangan kalian, contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, adalah baris aritmatika dengan nilai B = ( 9 – 7 ) = ( 7 – 5 ) = ( 5 – 3 ) = ( 3 – 1 ) = 2. Untuk bisa mengetahui bahwa nilai suku n adalah dari suatu barisan aritmatika bisa diketahui dengan kalian mengetahui bahwa nilai suku ke k dan selisih antara suku yang sedang berdekatan atau b . rumusnya sebagai berikut.
Apabila yang diketahui ialah sebuah nilai dari suku pertama Uk = a dan selisih di antara sukunya atau b, maka nilai dari k = 1 dan nilai dari Un ialah sebagai berikut :
2. Deret Aritmatika
Deret aritmatika merupakan sebuah penjumlahan suku suku dari suatu barisan aritmatika. Kemudian penjumlahan dari suku suku pertama itu sampai ke suku n barisan aritmatika sehingga bisa dihitung sebagai berikut:
Atau bisa juga sebagai:
Apabila hanya diketahui nilai a maka dari suku pertama dan nilai ialah suku ke n, maka dari deret aritmatikanya ialah :
Dari persamaan tersebut kita bisa dibalik untuk mencari tau nilai suku ke n akan menjadi :
Sisipan
Apabila kalian hendak membuat sebuah baris aritmatika dengan sudah diketahui nilai suku pertama / a dan suku terakhirnya / p, maka bisa disisipkan sejumlah bilangan diantara kedua bilangan tersebut itu. Sehingga jumlah q buah itu akan menjadi suku suku baris aritmatika dan mempunyai selisih antar suku berdekatan / b. Baris aritmatika itu akan mempunyai jumlah suku q + 2 dan di urutkan sebagai berikut:
Diketahui bahwa suku yang terakhir ialah :
Maka dari itu, nilai b bisa kita tentukan sebagai berikut :
Contohnya ialah a = 1 dan p = 9, apabila akan disisipkan dengan 3 bilangan diantaranya a dan juga p, maka barisan bilangan aritmatikanya ialah sebagai berikut:
Suku Tengah
Apabila suatu barisan aritmatika mempunyai jumlah suku ganjil maka akan mempunyai suku tengah. Dari suku tengah dari baris aritmatika ialah suku ke 1/2 ( n + 1 ). Apabila dibereskan di dalam rumus akan seperti ini Un = a + ( n – 1 ) b . maka dari nilai suku tengah bisa di dapatkan:
Baca Juga : Rumus Keliling Segitiga
Rumus Geometri
1. Barisan Geometri
Barisan geometri merupakan suatu baris yang nilainya pada setiap suku bisa diperoleh dari suku sebelumnya bisa dengan perkalian lalu suatu bilangan r . perbandingan atau rasio dari antara nilai suku dengan nilai suku sebelumnya yang saling berdekatan selalu sama yaitu r. Sehingga bisa menjadi :
Sebagai bahan pertimbangan contoh baris nya 1, 2, 3, 4, 8, 16 adalah sebuah baris geometri dengan nilai sebagai berikut:
Untuk bisa mengetahui bahwa nilai suku ke n dari suatu barisan geomtri bisa di ketahui dengan mengetahui nilai dari suku ke k dan rasio antara suku yang saling berdekata / r rumusnya akan sebagai berikut:
Apabila yang kalian ketahui ialah nilai dari suku pertama Uk = a dan rasio dari antar sukunya / r , maka nilai dari k = 1 dan nilai Un ialah
2. Deret Geometri
Deret geometri ialah suatu penjumlahan dari suku suku suatu barisan geometri, yang artinya penjumlahan dari suku suku pertama hingga suku ke n barisan geometri bisa kalian hitung sebagai berikut:
Atau bisa juga dihitung sebagai berikut:
Apabila hanya diketahui nilai a maka suku pertama dan nilai dari Un ialah suku ke n, maka nantinya nilai deret aritmatikannya ialah :
Tetapi dengan syarat bahwa 0 < r < 1 , atau bisa juga dengan :
Dengan syarat bahwa r > 1
Dari persamaan tersebut bisa kalian balik untuk bisa mencari nilai dari suku ke n, yaitu cara untuk mendapatkannya sama dengan deret aritmatika dengan rumus :
Sisipan
Sisipan apabila kalian ingin membuat suatu baris geometri dengan sudah mengetahui nilai dari suku pertama / a dan juga suku terakhirnya / p, bisa disisipkan dengan sejumlah bilangan pada dinatara kedua bilangan itu sendiri. Sejumlah bilangan / q buah tersebut akan menjadi suku suku dari baris geometri dan mempunyai rasio antar suku yang berdekatan / r. Pada baris itu juga mempunyai banyak suku q + 2 dan bisa di urutkan menjadi :
Yang dimana suku terakhir tersebut:
Yang nantinya nilai r itu bisa ditentukan sebagai berikut :
3. Deret Geometri Tak Terhingga
Deret geometri tak terhingga adalah suatu deret geometri yang bisa menjumlahkan suku sukunya hingga menuju tak terhingga, apabila suatu deret geometri menuju tidak hingga yang dimana n > 00 ( tak terbatas), maka deret tersebut bisa dijumlahkan menjadi rumus berikut :
Atau juga bisa dengan menggunakan rumus berikut.
Deret geometri tak terhingga akan terdiri dari 2 jenis yaitu konvergen dan divergen. Yaitu deret geometri tak terhingga yang bersifat konvergen apabila penjumlahan dari suku sukunya menuju atau bisa mendekati dari suatu bilangan tertentu, namun sedangkan yang bersifat divergen apabila penjumlahan dari suku sukunya tidak terbatas, nilai deret geometri tidak terhingga bisa didapat dengan menggunakan rumus limit. Yang sebelumnya diketahui bahwa nilai deret geometri ialah :
Yang dimana adanya unsur R’n didalam perhitungan yang akan terpengaruh dari jumlah suku n. Apabila n > 00 ( tak terbatas ) , maka untuk bisa menentukan nilai r’n bisa menggunakan rumus limit berikut:
Dengan syarat bahwa -1 < r < 1 dan juga
Dengan syarat bahwa r < -1 atau juga r > 1.
Lalu hasil dari limit r’ n itu bisa dimasukan ke dalam perhitungan deret sebagai berikut :
Dengan syarat bahwa -1 < r < 1 dan juga
Dengan syarat bahwa r < -1 atau r > 1
Baca Juga : Jenis – Jenis Bilangan Bulat
Contoh Soal Aritmatika dan Geometri
Berikut ini adalah beberapa contoh soal aritmatika dan geometri, antara lain.
1. Soal Deret Aritmatika
Pada suatu deret aritmatika yang mempunyai suku ke 5 sama dengan 42, da juga suku ke 8 sama dengan 15, maka jumlah dari 12 suku pertama deret tersebut ialah?
2. Deret Geometri
Apabila jumlah dari 2 suku pertama geometri ialah 6 dan jumlah 4 suku pertama ialah 54, dan memiliki rasio positid, maka tentukanlah jumlah 6 suku pertama dari deret tersebut!
3. Geometri Tidak Terhingga
Nah itulah pembahasan lengkap mengenai barisan deret aritmatika dan geometri, dengan kalian mebaca artikel ini mudah mudahan paham betul apa si itu aritmatika dan geometri dan bisa mengerjakan soal soalnya karena pada artikel ini sudah dijelaskan dengan rinci bagaimana rumus rumusnya dari aritmatika dan geometri, semoga sukses, dan kurang lebihnya mohon maaf terima kasih.
