Taukah kamu apa yang di maksud dengan bilangan berpangkat? Mungkin kamu tau tapi lupa untuk menjelaskan kembali materi bilangan berpangkat itu. Sebelumnya kita pernah membahas bilangan cacah.
Pada bangku sekolah tentunya kita telah diajarkan oleh guru kita tentang materi operasi bilangan, salah satunya adalah bilangan berpangkat. Yang dimaksud dengan bilangan berpangkat adalah salah satu operasi bilangan yang cukup banyak si gunakan, salah satunya adalah untuk menghitung jumlah penduduk dari suatu daerah dan beberapa kegunaan bilangan berpangkat lainnya.
Bagi kamu yang ingin mengulas kembali materi operasi bilangan seperti bilangan berpangkat, tepat sekali kamu membaca artikel pintarnesia kaki ini.
Pada kesempatan ini pintarnesia akan membahas materi bilangan berpangkat yang disertai contoh soal, sifat, jenis dan lainya yang berhubungan dengan bilangan berpangkat secara lengkap. Oleh karena itu, simak uraian berikut ini.
Pengertian Bilangan Berpangkat
Pengertian bilangan berpangkat adalah salah satu operasi bilangan yang berfungsi untuk dapat menyederhanakan penulisan dan juga penyebutan dari suatu bilangan yang mempunyai faktor faktor perkalian yang sama.
Bilangan yang memiliki pangkat di dalam matematika terdiri dari beberapa bilangan, misalnya bilangan dengan pangkat bulat negatif (bilangan asli), bilangan bulat negatif, pangkat nol, pangkat rasional dan juga pangkat riil. Notasi pangkat yang digunakan untuk dapat menuliskan hasil kali dari suatu bilangan secara berulang menjadi bentuk yang lebih sederhana lagi.
Seperti misalnya pada contoh berikut: 3x3x3x3x3=…atau 7x7x7x7x=… dan lain sebagainya. Perkalian bilangan dengan menggunakan faktor yang sama misalnya seperti bilangan tersebut yang merupakan perkalian secara berulang.
Apabila perkalian bilangan tersebut tidak disederhanakan, maka kita akan lebih sulit untuk menuliskannya karena angka yang terlibat karena terlalu banyak untuk satu kali bilangan perkalian tersebut.
Baca Juga: Integral.
Cara Membaca Bilangan Berpangkat
Setiap perkalian berulang akan dapat disederhanakan menjadi lebih ringkas lagi dengan menggunakan notasi angka bilangan berpangkat.
Seperti misalnya 3x3x3x3x3 dengan menggunakan bilangan berpangkat dapat di sederhanakan menjadi 3⁵. Dan apabila angkanyang digunakan adalah 5x5x5x5x5x5x5x5 maka dapat disederhanakan menjadi 5⁸.
Cara membaca bilangan berpangkat yang telah disederhanakan adalah:
3⁵ : Tiga pangkat lima
5⁸ : Lima pangkat delapan
Rumus Bilangan Berpangkat
Maka pelru juga kita mengetahui Rumus bilangan berpangkat adalah aⁿ = a × a × a × … × a sebanyak n.
a = bilangan yang dipangkatkan (bilangan pokok)
n = pangkat (eksponen) dengan n adalah bilangan bulat positif
Jenis-Jenis Bilangan Berpangkat
Seperti pada penjelasan sebelumnya bahwa terdapat beberapa jenis bilangan yang memiliki pangkat di dalam matematika. Secara umum bilangan yang memiliki pangkat terbagi menjadi 3 jenis.
Antara lain yaitu bilangan berpangkat positif (+), bilangan berpangkat negatif (-), dan bilangan berpangkat nol (0). Di bawah ini merupakan jenis bilangan berpangkat:
1. Bilangan Berpangkat Positif
Pengertian bilangan berpangkat positif adalah suatu bilangan yang memiliki pangkat atau eksponen positif. Maksud dari eksponen positif itu sendiri adalah penyebutan lain dari pangkat. Jenis bilangan berpangkat positif memiliki beberapa sifat tertentu.
Bilangan berpangkat positifdiantaranya terdiri dari a, b, sebagai bilangan real dan juga m, n yang merupakan bilangan buat positif. Terdapat beberapa sifat yang dimiliki oleh bilangan berpangkat positif diantaranya yaitu:
- a x aⁿ = am+ⁿ
- am : aⁿ = am-ⁿ , untuk m>n dan b ≠ 0
- (am)ⁿ = amⁿ
- (ab)m = am bm
- (a/b)m = am/bm , untuk b ≠ 0
2. Bilangan Berpangkat Negatif
Kemudian yang kedua dari jenis bilangan berpangkat adalah bilangan berpangkat negatif yang merupakan bilangan yang memiliki pangkat atau eksponen negatif (-). terdapat beberapa sifat yang dimiliki oleh bilangan berpangkat negatif, diantaranya adalah sebagai berikut:
Apabila a∈R, a ≠ 0, dan n adalah bilangan bulat negatif (-), maka:
a-ⁿ = 1/aⁿ atau aⁿ = 1/ a-ⁿ
3. Bilangan Berpangkat Nol (0)
Di dalam ilmu matematika terdapat dua jenis bilangan berpangkat nol. Untuk sifat dari bilangan berpangkat nol (0) adalah “apabila a adalah bilangan riil dan a tidak sama dengan nol (0), maka a⁰ = 1”.
Baca Juga: Koordinat Cartesius.
Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat
Setelah kita mengetahui penjelasan dan jenis-jenis yang di miliki oleh bilangan berpangkat di atas. Selanjutnya kita mengetahui sifat-sifat yang dimiliki oleh bilangan berpangkat, yang menjadi ciri khas yang dimiliki oleh bilangan berpangkat. Beberapa sifat-sifat yang dimiliki bilangan berpangkat diantaranya adalah:
1. Pangkat Bulat Positif
Bentuk pangkat bulat positif terdapat contoh a yang merupakan bilangan real serta n yang merupakan bilangan bulat positif. Notasi dari aⁿ akan memberikan pernyataan dari hasil kali pada bilangan a sebanyak n faktor. Maka dapat dituliskan menjadi seperti berikut:
aⁿ = a × a × a × … × a
Dari penulisan diatas artinya adalah a × a × a × … × a merupakan n faktor.
Keterangan:
a = bilangan yang dipangkatkan (bilangan pokok)
n = pangkat
Kesimpulan:
- Jika n merupakan suatu variabel dari eksponen a, maka kita harus perhatikan semesta variabel tersebut. Karena aⁿ = a x a x …x a sesuai dengan banyak n faktor, dan ini hanya berlaku pada saat semesta n ∈N.
- Pada pangkat bulat positif apabila nilai dari a¹ kita cukup menulisnya menjadi a saja.
- Tidak semua a⁰ dengan a bilangan real adalah menyatakan 1. Ketika a = 0 dan juga n = 0, sehingga aⁿ= 0⁰, sehingga di dapatkan hasil yang tidak tentu.
Berikut ini merupakan contoh soal pada penjelasan di atas agar kamu dapat lebih memahami materi yang disampaikan secara lebih mendalam.
- 3⁴ = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
- 2⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
- 4 ³ = 4 x 4 x 4 = 64
2. Pangkat Bulat Negatif
Pada pangkat bulat negatif untuk a bilangan real dan juga a ≠ 0, m bilangan bulat positif, sehingga dapat di definisikan menjadi seperti berikut ini:
a-m = (1/a)m
3. Pangkat Nol
Pangkat Nol adalah a bilangan real dan juga a ≠ 0, sehingga a⁰ = 1. Pada pangkat nol bilangan a tidak boleh sama dengan nol, karena pada saat a = 0 maka a⁰ = 0⁰, sehingga di dapatkan hasil yang tidak tentu.
Berikut ini merupakan contoh soal pada penjelasan di atas agar kaju dapat lebih memahami materi yang disampaikan secara lebih mendalam.
- 4⁰ = 1
- 5⁰ = 1
4. Sifat Pangkat Bilangan Bukat Positif
Terdapat beberapa sifat-sifat yang dimiliki oleh bilangan pangkat bukat positif, diantaranya adalah seperti yang akan di jelaskan berikut ini:
Sifat 1
Jika a merupakan bilangan real, m Dan juga n bilangan positif maka
am × aⁿ = am+n
Sifat yang telah dijelaskan di atas hanya berlaku jika a adalah bilangan, dan m serta n adalah bilangan bulat positif. Jika m dan n bukan merupakan bilangan bulat positif bulat positif, maka sifat 1 tidak akan berlaku berlaku. Misalnya a = 0 , m = n = 0 tidak berlaku.
Contoh:
3² x 3³ = (3 x 3) x ( 3 x 3 x 3) = 243
= 3⁵
3² x 3³ = 3²+³
Sifat 2
Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n merupakan bilangan bulat positif, sehingga pada sifat 2 tidak diperbolehkan apabila nilai dari a = 0, karena bentuk perpangkatan pada sifat 2 adalah bentuk rasional. Apabila am atau aⁿ maka kemungkinan hasilnya adalah 0. Dan apabila hasil am dan aⁿ adalah 0 maka hasil bagi tidak menentu. Jika am ≠ 0 dan aⁿ ≠ 0 maka hasil baginya tak terdifinisikan.
Contoh:
3⁵/3² = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 / 3 x 3 = 9
= 3³
= 3⁵–³
Sifat 3
Untuk sifat ketiga apabila a bilangan real dan juga a ≠ 0, dan m serta n adalah bilangan bulat positif, maka (am)n = amn
Contoh:
(4²)³ = (4²) x (4²) x (4²)
= (4 x 4) x (4 x 4 ) x (4 x 4)
= 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4
= 4⁶
5. Pangkat Pecahan
Untuk pengertian dari pecahan berpangkat dapat di contohkan dengan a adalah bilangan real dan a ≠ 0, serta m adalah bilangan bulat positif, sehingga a¹/m = p adalah bilangan real positif, maka pm = a.
Contoh a adalah bikangan real dan a ≠ 0, m, n merupakan bilangan bulat positif. Maka dapat di definisikan menjadi seperti berikut ini:
am/ⁿ = (a¹/ⁿ)m
Operasi Bilangan Berpangkat
Kita telah memahami jenis-jenisnya, maka perlu juga kita memahami operasi bilangan berpangkat sebagai berikut.
- Perkalian bilangan berpangkat bilangan pokoknya sama, apakah 6 pangkat tersebut akan dijumlahkan.
- Bilangan negatif dipangkatkan dengan pangkat yang ganjil, maka akan menghasilkan bilangan negatif (-).
- Bilangan negatif yang dipangkatkan dengan pangkat genap maka akan menghasilkan suatu bilangan yang positif (+).
- Pembagian bilangan berpangkat yang merupakan bilangan pokoknya sama, maka pangkat dari bilangan tersebut akan digunakan.
- Apabila terdapat bilangan berpangkat yang dipangkatkan lagi, makan pada bilangan tersebut akan dikalikan.
Baca Juga: Deret Aritmatika.
1. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat
Di dalam operasi hitung perkalian pada bilangan berpangkat terdapat sifat atau rumus yang digunakan untuk dapat menentukan hasil perkalian bilangan berpangkat tersebut dengan menggunakan rumus seperti berikut ini:
am x aⁿ = am+ⁿ
Contoh:
2² x 2³ = (2 x 2 x 2) x (2 x 2)
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2
= 2⁵
Jadi dari bilangan 2² x 2³ akan di sederhanakan menjadi bilangan 2⁵
Contoh Soal:
- 4³ x 4²
Pembahasan:
4³ x 4² = 4³+² = 4⁵ = 1.024
Perlu kamu ketahui bahwa tidak selamanya bilangan berpangkat tersebut hasilnya akan selalu positif. Apabila terdapat bilangan negatif dengan pangkat genap maka hasilnya positif, dan apabila terdapat bilangan negatif dengan pangkat ganjil maka hasilnya negatif.
2. Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat
Di dalam operasi hitung pada pembagian bilangan berpangkat, akan berlaku rumus untuk dapat menentukan hasil yang lebih sederhana lagi denga menggunakan sifat seperti berikut ini:
am : aⁿ = am-ⁿ
Contoh :
3⁸ : 3⁴ = (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3) : (3 x 3 x 3 x 3)
= 3³–⁴
= 3⁴
Contoh Soal:
- 3⁴/4²
Pembahasan:
3⁴/4² = 3⁴-² = 3² = 9 (karena nilai pangkat atau eksponen sama dengan a, maka si coret keduanya)
3. Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat
Pada operasi hitung perpangkatan bilangan berpangkat terdapat rumus yang bisa digunakan untuk menentukan hasil dari suatu bilangan dengan menggunakan sifat yang berlaku seperti berikut ini:
(am)ⁿ = amxⁿ
Contoh:
(3²)³ = (3 x 3)³
= (3 x 3) x (3 x 3) x (3 x 3)
= 3⁶ (3²x³)
Contoh Soal:
- [(-8)⁴]²
Pembahasan:
[(-8)²]² = (-8)²×² = (-8)⁴ = 4.096
4. Sifat Perpangkatan Suatu Pembagian Dua Bilangan
Di dalam operasi hitung perpangkatan suatu pembagian dua bilangan terdapat rumus yang dapat digunakan untuk menentukan hasil dari suatu bilangan dengan menggunakan sifat yang berlaku seperti berikut ini:
(a : b)m = am : bm
Contoh:
(2/4)² = (2/4) x (2/4)
(2/4)² = (2 x 2)/(4 x 4)
(2/4)² = 2²/4²
Contoh Soal:
- [(−5)/2]²
Pembahasan:
[(−5)/2]² = (−5)²/2² = −10/4
Baca Juga : Bilangan Real
5. Sifat Perpangkatan Suatu Perkalian Dua Bilangan
Di dalam operasi hitung perpangkatan suatu perkalian dua bilangan terdapat rumus yang dapat digunakan untuk menentukan hasil dari suatu bilangan dengan menggunakan sifat yang seperti berikut ini:
(a x b)m = am x bm
Contoh:
(5 x 2)² = (5 x 2) x (5 x 2)
(5 x 2)² =(5 x 5) x (2 x 2)
(5 x 2)² = 5² x 2²
Contoh Soal:
- [(1/3) x (1/6)]³
Pembahasan:
[(1/3) x (1/6)]³ = (1/3)³ x (1/6)³
= (1/27) x (1/216)
= 1/5832
6. Sifat Perpangkatan Bilangan Nol
Jika a adalah bilangan real (a ∈ R) dan juga n adalah bilangan bulat positif (n ≥ 1), maka sifat-sifat yang dimiliki oleh perpangkatan bilangan nol (0) adalah seperti berikut ini:
- a⁰ = 1
- 0ⁿ =
- 0⁰ = Tidak terdifinisikan
Contoh sifat no. 1:
8³/8³ = 8³-³ = 8⁰
Contoh sifat no. 2:
0¹ = 0 × 0 = 0
0² = 0 × 0 × 0 = 0
0³ = 0 × 0 × 0 × 0 = 0
Demikian pembahasan tentang bilangan berpangkat pada materi pelajaran matematika. Semoga pembahasan yang telah diberikan di atas dapat mudah dipahami dan dapat bermanfaat. Apabila terdapat kekurangan atau kesalahan dalam penulisan dan penjelasan, mohon dimaklumi.