Sandy Kurnia Fajar Hobi ngegame, jadi top player dan disayang mamah. Biar jadi orang yang berguna bagi banyak orang.

Induksi Matematika: Pengertian, Materi, Soal dan Pembahasan

13 min read

Induksi Matematika – Induksi matematika adalah suatu metode yang biasanya digunakan untuk pembuktian deduktif dimana sering digunakan dalam membuktikan suatu pernyataan di bidang matematika yang berhubungan dengan himpunan bilangan tertentu dengan terurut rapi.

Contoh dari bilangan tersebut adalah bilangan asli ataupun himpunan bilangan bagian tak kosong dari suatu bilangan asli.

Induksi matematika bukanlah metode yang digunakan untuk merumuskan suatu masalah tertentu, melainkan induksi matematika ini digunakan untuk membuktikan dan mengecek suatu rumus atau pernyataan tertentu sehingga bisa diketahui kebenarannya.

Jadi bisa disimpulkan jika Induksi matematika ini tidak dapat digunakan sebagai metode penurunan rumus.

Di bawah ini merupakan beberapa contoh mengenai pernyataan matematika yang dapat kita buktikan dengan menggunakan induksi matematika mengenai kebenarannya. Rumus matematika untuk induksi matematika :

  1. P(n) = 2 + 4 + 6 + 8 … + 2n = n(n + 1),dimana n merupakan suatu bilangan asli.
  2. P(n) = 6n + 4 dimana nilai tersebut habis jika dibagi 5 dan untuk n merupakan suatu bilangan asli.
  3. P(n) = 4n < 2n, dimana untuk semua bilangan asli adalah n ≥ 4.

 

Gambaran Prinsip Induksi Matematika

rumus induksi matematika

Gambar di atas sekilas terlihat seperti susunan domino dimana domino pertama terjatuh dan akan mengenai domino nomor dua. Hal diatas dapat kita gunakan sebagai perumpamaan dalam prinsip kerja dari suatu induksi matematika, berikut sedikit pembahasannya.

Kondisi seperti apakah yang dapat menjawab pertanyaan kapan semua domino yang tersusun tersebut akan roboh atau terjatuh? untuk menjawab hal tersebut kita harus memenuhi dua keadaan.

Keadaan yang pertama yaitu domino nomor 1 harus jatuh, selanjutnya keadaan yang kedua adalah setelah domino nomor 1 jatuh, maka domino nomor 2 akan ikut jatuh karena terkena dampak dari domino nomor 1, kemudian domino nomor 3 akan ikut jatuh karena dampak domino nomor 2, begitu selanjutnya hingga seluruh domino jatuh.

Dengan begitu bisa kita katakan jika domino K roboh maka domino yang akan jatuh juga adalah domino K+1 dan implikasi ini juga berlaku kepada semua domino yang ada. Efek ini juga akan berlaku untuk domino lain yang tertata tersebut jika dua keadaan yang disebutkan tadi terpenuhi.

 

 

Prinsip Induksi Matematika

Contoh dari prinsip induksi matematika adalah P(n) adalah suatu pernyataan yang dimana bergantung dari n itu sendiri. P(n) dinyatakan benar jika masing masing dari bilangan n asli bisa memenuhi 2 kondisi seperti berikut ini.

Kondisi pertama P(1) benar dimana hal tersebut mempunyai arti n = 1, dengan begitu P (n) memiliki bilai benar, lalu Kondisi kedua yaitu untuk seluruh bilangan asli k, apabila P(k) dinyatakan benar maka dengan begitu P(K+1) juga dinyatakan benar.

 

 

Pembahasan Induksi Matematika

Untuk contoh P(n) adalah suatu pernyataan yang dimana itu bergantung kepada n. P(n) dinyatakan benar untuk seluruh bilangan asli n ≥ m, apabila dapat memenuhi 2 kondisi seperti berikut.

Kondisi pertama P(m) benar, hal tersebut memiliki arti n = m, dengan begitu P(n) memiliki nilai benar, lalu Kondisi kedua yaitu untuk seluruh bilangan asli k ≥ m, apabila P(k) dinyatakan benar maka dengan begitu P(K+1) juda dinyatakan benar

Kita dapat menggunakan sistem substitusi jika ingin membuktikan hal tersebut benar atau tidak. Silakan substitusikan n = p untuk menunjukan P(1) pada P(n).

Jika P(n) memiliki bentuk dalam persamaan, dengan begitu ruas dibagian kiri harus sama dengan ruas yang ada di bagian kanan sekaran n = 1 selanjutnya kita dapat simpulkan P(1) dinyatakan benar.

Metode yang sama bisa kita gunakan untuk membuktikan jika P(m) itu benar, bisa kalian lihat kembali gambar domino yang ada di atas, agar domino (K + 1) dapat roboh atau terjatuh, maka sebelum itu domino K harus jatuh atau roboh terlebih dahulu, yang selanjutnya akan memiliki efek jika domino k roboh, domino (k + 1) juga ikut roboh.

Jadi untuk membuktikan jika implikasi / efek jika P(k) dinyatakan benar, ini mempunyai arti P(k + 1) juga dapat dinyatakan benar, yang perlu kita lakukan pertama tama adalah melakukan asumsi jika P(k) benar.

Kemudian kalian lihat jika dari asumsi tersebut kita buktikan juga P(k + 1) juga dapat dinyatakan benar. Proses ini dinamakan sebagai proses Hipotesis Induksi. Jadi dapat disimpulkan untuk membuktikan kebenaran P(k + 1), langkah pertama yang perlu kita lakukan adalah melakukan hipotesis.

 

 

Langkah Pembuktian Induksi Matematika

konsep induksi matematika

Seperti yang terlihata pada gambar diatas, tahapan yang perlu kalian lakukan untuk melakukan pembuktian induksi matematika adalah Tahap Pertama : Menunjukan jika P(1) dapat dinyatakan benar, Tahap Induksi : kamu dapat mengibaratkan jika P(k) dapat dinyatakan benar untuk k bilangan asli, kemudian menunjukan jika P(k + 1) juga dapat dinyatakan benar dengan di dasarkan dari asumsi tadi, Kesimpulan : P(n) bisa dinyatakan benar untuk seluruh bilangan n asli.

 

 

Pembuktian Induksi Matematika Deret

Untuk memulai pembuktian deret induksi matematika kalian perlu memperhatikan beberapa hal yang berhubungan dengan bilangan deret, seperti misalnya yang ada di bawah ini

  • Jika P(n) = u1 + u2 + u3 + u4 … + un = Sn , maka P(1) : u1 = S1
  • Jika P(k) : u1 + u2 + u3 + u4 … + uk = Sk, maka P(k + 1) : u1 + u2 + u3 + u4 … + uk + uk+1 = Sk+1

 

Contoh Soal Induksi Matematika Deret 1

Silakan kalian buktikan 2 + 4 + 6 + 8 + 10 +… + 2n = n(n + 1), jika untuk seluruh n merupakan bilangan asli.

 

Jawaban Induksi Matematika Deret 1

P(n) : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 2n = n(n + 1), hal tersebut bisa kita mulai buktikan dengan P(n) dinyatakan benar jika untuk seluruh n ∈ N.

  • Langkah pertama yaitu menunjukan jika P(1) benar. 2 = 1(1 + 1), hingga kemudian kita dapatkan jika P(1) benar.
  • Langkah induksi yaitu mengibaratkan jika P(k) dapat dinyatakan benar, 2 + 4 + 6 + 8 + 10 +… + 2k = k(k + 1), apabila seluruh k ∈ N. Sehingga hal tersebut dapat menunjukan jika P(k + 1) juga bisa dinyatakan benar sehingga menghasilkan 2 + 4 + 6 + 8 + 10 +… + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1) dari asumsi tersebut maka dapat menghasilkan lagi 2 + 4 + 6 + 8 + 10 +… + 2k = k(k + 1).

Kemudian selanjutnya kamu bisa melakukan penambahan di kedua ruas dengan uk+1, seperti pada contoh berikut di bawah ini :
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

Dengan begitu bisa disimpulkan jika P(k + 1) dapat dinyatakan benar, dimana P(n) merupakan benar untuk seluruh n bilangan asli.

 

Contoh Soal Induksi Matematika Deret 2

Silakan kalian buktikan 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +… + (2n − 1) = n2 , jika untuk seluruh n merupakan bilangan asli.

 

Pembahasan Induksi Matematika Deret 2

P(n) : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +… + (2n − 1) = n², hal tersebut bisa kita mulai buktikan dengan P(n) dinyatakan benar jika untuk seluruh n ∈ N.

  • Langkah pertama yaitu menunjukan jika P(1) benar. 1 = 1², hingga kemudian kita dapatkan jika P(1) benar.
  • Langkah induksi yaitu mengibaratkan jika P(k) dapat dinyatakan benar, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +… + (2k − 1) = k², k ∈ N, apabila seluruh k ∈ N. Sehingga hal tersebut dapat menunjukan jika P(k + 1) juga bisa dinyatakan benar sehingga menghasilkan 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +… + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2² dari asumsi tersebut maka dapat menghasilkan lagi 1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k².

Kemudian selanjutnya kamu bisa melakukan penambahan di kedua ruas dengan uk+1, seperti pada contoh berikut di bawah ini :
1 + 3 + 5 + 7 + 9 +… + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k² + (2(k + 1) − 1)
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k² + 2k + 1
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)²

Dengan begitu bisa disimpulkan jika P(k + 1) dapat dinyatakan benar, dimana P(n) merupakan benar untuk seluruh n bilangan asli.

Baca Juga: Pertidaksamaan Linear Dua Variabel.

 

Pembuktian Keterbagian Induksi Matematika

Kamu dapat melakukan suatu perumpamaan dimana jika ada pernyataan nilai a habis dibagi nilai b ini memiliki arti yang sama dengan bahwa nilai a adalah kelipatan nilai b, kemudian juga sama dengan nilai b merupakan faktor dari nilai a, dan nilai b membagi nilai a.

Atau bisa juga dengan jika ada suatu pernyataan nilai p habis dibagi nilai a kemudian nilai q habis dibagi nilai a maka bisa kita kelompokan menjadi (nilai p + nilai q) akan habis jika dibagi a. Bisa kita umpamakan dengan angka, misal ada angka 8 habis jika dibagi 4 dan ada nilai 12 habis jika dibagi 4, maka dapat dikelompokan menjadi (8 + 12) akan habis jika dibagi dengan 4.

 

Contoh Soal Keterbagian Induksi Matematika 1

Silakan kalian buktikan jika nilai dari 6n + 4 akan habis jika dibagi dengan angka 5, untuk seluruh n merupakan bilangan asli.

 

Jawaban Keterbagian Induksi Matematika 1

P(n) : 6n + 4 akan habis jika dibagi dengan angka 5, hal tersebut bisa kita mulai buktikan dengan P(n) dinyatakan benar jika untuk seluruh n ∈ N.

  • Langkah pertama yaitu menunjukan jika P(1) benar. 6¹ + 4 = 10 yang dimana nilai tersebut akan habis jika dibagi dengan 5, hingga kemudian kita dapatkan jika P(1) benar.
  • Langkah induksi yaitu mengibaratkan jika P(k) dapat dinyatakan benar, 6k + 4 akan habis jika dibagi dengan angka 5, apabila seluruh k ∈ N. Sehingga hal tersebut dapat menunjukan jika P(k + 1) juga bisa dinyatakan benar sehingga menghasilkan 6k+1 + 4 akan habis jika dibagi dengan angka 5 dari asumsi tersebut maka dapat menghasilkan lagi 6k+1 + 4 = 6(6k)+ 4 atau bisa juga dengan 6k+1 + 4 = 5(6k) + 6k + 4.

Hal tersebut tentu saja dikarenakan nilai dari 5(6k) akan habis jika dibagi dengan angka 5 ataupun 6k + 4 juga akan habis jika dibagi dengan angka 5, sehingga dapat disimpulkan jika 5(6k) + 6k + 4 juga akan habis ketika dibagi dengan angka 5.

Jadi dapat dinyatakan jika P(k + 1) benar. Dari prinsip induksi matematika keterbagian tersebut sudah terbukti jika 6n + 4 akan habis ketika dibagi dengan angka 5, apabila seluruh nilai n adalah bilangan asli.

Nilai dari suatu bilangan bulat a akan habis ketika dibagi dengan nilai bilangan bulat b apabila di dapati nilai bilangan bulat m, yang dimana akan berlaku a = bm.

Contohnya adalah 15 akan habis jika dibagi dengan angka 3, hal tersebut benar dimana terdapat bilanga bulat m = 5, yang dapat memberlakukan 15 = 3.5

 

Contoh Soal Keterbagian Induksi Matematika 2

Kalian juga bisa menggunakan soal dibawah ini untuk melakukan pembuktian dengan cara lain, berikut merupakan soal yang dapat kalian gunakan untuk melakukan penyelesaian keterbagian induksi matematika.

Silakan kalian buktikan jika nilai dari n3 + 2n akan habis jika dibagi dengan angka 3, untuk seluruh n merupakan bilangan asli.

 

Pembahasan Keterbagian Induksi Matematika 2

P(n) : n3 + 2n = 3m dan merupakan m ∈ ZZ, hal tersebut bisa kita mulai buktikan dengan P(n) dinyatakan benar jika untuk seluruh n ∈ NN.

  • Langkah pertama yaitu menunjukan jika P(1) benar. 1³ + 2.1 = 3 = 3.1 yang dimana nilai tersebut akan habis jika dibagi dengan 3, hingga kemudian kita dapatkan jika P(1) benar.
  • Langkah induksi yaitu mengibaratkan jika P(k) dapat dinyatakan benar, k³ + 2k = 3m akan habis jika dibagi dengan angka 3, apabila seluruh k ∈ NN. Sehingga hal tersebut dapat menunjukan jika P(k + 1) juga bisa dinyatakan benar sehingga menghasilkan (k + 1)³ + 2(k + 1) = 3p akan habis jika dibagi dengan angka 3 apabila seluruh k ∈ NN.

Jika di uraikan lebih lanjut hal tersebut bisa membuktikan nilai seperti berikut ini :

  • (k + 1)3 + 2(k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)
  • (k + 1)3 + 2(k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
  • (k + 1)3 + 2(k + 1) = 3m + 3(k2 + k + 1)
  • (k + 1)3 + 2(k + 1) = 3(m + k2 + k + 1)

Hal itu dikarenakan nilai dari m merupakan bilangan bulat dan k adalah merupakan bulangan asli, jadi dapat dituliskan (m + k2 + k + 1) adalah suatu bilangan bulat. Bisa kita buat contoh misal p = (m + k2 + k + 1), sehingga jika diteruskan akan menjadi (k + 1)3 + 2(k + 1) = 3p, apabila p ∈ ZZ.

Oleh karena itu, P(k + 1) dapat dinyatakan benar. Dari induksi matematika tersebut bisa terbukti jika nilai dari n3 + 2n akan habis jika dibagi dengan angka 3, dengan seluruh n adalah merupakan bilangan asli.

 

 

Pembuktian Pertidaksamaan Induksi Matematika

Dalam pertidaksamaan sendiri ada beberapa sifat yang biasanya digunakan sebagai patokan patokan tertentu, berikut di bawah ini merupakan beberapa sifat pertidaksamaan matematika yang biasanya sering digunakan.

  • Sifat transitif, a > b > c ⇒ a > c atau bisa juga dengan a < b < c ⇒ a < c
  • a < b dan c > 0 ⇒ ac < bc atau bisa juga dengan a > b dan c > 0 ⇒ ac > bc
  • a < b ⇒ a + c < b + c atau bisa juga dengan a > b ⇒ a + c > b + c

 

Contoh Soal Pertidaksamaan Induksi Matematika 1

Contoh dari penerapan sifat pertidaksamaan diatas kita dapat menggunakan misal P(k) dinyatakan benar, jadi P(k + 1) juga dapat dinyatakan sebagai suatu kebenaran.

Misalnya adalah ketika P(k) : 4k < 2k, kemudian P(k + 1) : 4(k + 1) < 2k+1. Jadi dari pernyataan tersebut di anggap jika P(k) benar apabila untuk k ≥ 5, silakan kalian buktikan jika P(k + 1) juga dapat dinyatakan benar!

 

Jawaban Soal Pertidaksamaan Induksi Matematika 1

Di sini kalian mempunyai tugas untuk membuktikan jika 4(k + 1) < 2k+1 = 2(2k) = 2k + 2k dapat dinyatakan benar, kalian bisa memulai dengan mengubah pertidak samaan yang ada di ruas kiri menjadi seperti berikut ini :

  • 4(k + 1) = 4k + 4
  • 4(k + 1) < 2k + 4 (ini dikarenakan 4k < 2k)
  • 4(k + 1) < 2k + 2k (ini dikarenakan 4 < 4k < 2k)
  • 4(k + 1) = 2(2k)
  • 4(k + 1) = 2k+1

Ingat pada bagian sifat pertidaksamaan transitif, dengan begitu ktia dapat menyimpulkan jika 4(k + 1) < 2k+1. Lalu bagaimana bisa 4k dapat berubah menjadi 2k?

Bisa kalian lihat lagi sifat pertidaksamaan yang ketika, jika kita bisa melakukan penambahan nilai tertentu di kedua ruas dalam pertidaksamaan tersebut namun harus menggunakan nilai yang sama.

Oleh karena itu, perubahan tersebut tidak akan merubah nilai dari kebenaran suatu pertidaksamaan yang ditambahkan nilainya di kedua ruas tersebut, seperti pada contoh adalah 4k < 2k yang dinyatakan benar, jadi 4k + 4 < 2k + 4 juga bisa dinyatakan sebagai suatu kebenaran.

Kemudian bagaimana kita mengetahui jika nilai 4 merupakan nilai yang harus dirubah menjadi 2k ? Bisa kalian perhatikan kembali tugas kalian yaitu membuktikan jika 4(k + 1) < 2k+1 = 2(2k) = 2k + 2k adalah benar, untuk hasil sementara dari 2k+4 sendiri yaitu 2k+2k, kemudian untuk k ≥ 5, jadi 4 < 4k dan 4k < 2k sehingga dapat dikatakan bernilai benar.

Oleh karena itu, 4 < 2k juga dapat dinyatakan benar dengan melihat sifat transitif, dimana hal tersebut melibatkan 2k + 4 < 2k + 2k yang juga dinyatakan benar jika melihat sifat pertidaksamaan ketiga.

 

Contoh Soal Pertidaksamaan Induksi Matematika 2

Silakan kalian buktikan jika nilai dari n ≥ 4 akan berlaku juga untuk 3n < 2n, dengan seluruh n merupakan bilangan asli. Buktikan hal tersebut!

 

Pembahasan Soal Pertidaksamaan Induksi Matematika 2

P(n) : 3n < 2n dan merupakan n ≥ 4, hal tersebut bisa kita mulai buktikan dengan P(n) dinyatakan benar jika untuk seluruh n ∈ NN.

  • Langkah pertama yaitu menunjukan jika P(1) benar. 3.4 = 12 < 2⁴ = 16 dan berlaku untuk n ≥ 4 dengan n ∈ NN, hingga kemudian kita dapatkan jika P(1) benar.
  • Langkah induksi yaitu mengibaratkan jika P(k) dapat dinyatakan benar, 3k < 2k dan  k ≥ 4. Sehingga hal tersebut dapat menunjukan jika P(k + 1) juga bisa dinyatakan benar sehingga menghasilkan 3(k + 1) < 2k+1.

Jika di uraikan lebih lanjut hal tersebut bisa membuktikan nilai seperti berikut ini :

  • 3(k + 1) = 3k + 3
  • 3(k + 1) < 2k + 3, (hal tersebut dikarenakan 3k < 2k)
  • 3(k + 1) < 2k + 2k, (hal tersebut dikarenakan3 < 3k < 2k)
  • 3(k + 1) = 2(2k)
  • 3(k + 1) = 2k+1

Sehingga dari konsep induksi pertidaksamaan matematika diatas dapat terbukti jika P(n) bisa berlaku untuk seluruh bilangan asli n ≥ 4 dan juga P(k + 1) dapat dinyatakan benar.

 

Contoh Soal Induksi Matematika Pertidaksamaan 3

Silakan kalian buktikan jika nilai dari n ≥ 2 akan berlaku juga untuk 3n > 1 + 2n, dengan seluruh n merupakan bilangan asli. Buktikan hal tersebut!

 

Pembahasan Soal Induksi Matematika Pertidaksamaan 3

P(n) :  3n > 1 + 2n dan merupakan n ≥ 2, hal tersebut bisa kita mulai buktikan dengan P(n) dinyatakan benar jika untuk seluruh n ∈ NN.

  • Langkah pertama yaitu menunjukan jika P(2) benar.32 = 9 > 1 + 2.2 = 5 dan berlaku untuk n ≥ 2 dengan n ∈ NN, hingga kemudian kita dapatkan jika P(2) benar.
  • Langkah induksi yaitu mengibaratkan jika P(k) dapat dinyatakan benar, 3k > 1 + 2k dan k ≥ 2. Sehingga hal tersebut dapat menunjukan jika P(k + 1) juga bisa dinyatakan benar sehingga menghasilkan 3k+1 > 1 + 2(k + 1).

Jika di uraikan lebih lanjut hal tersebut bisa membuktikan nilai seperti berikut ini :

  • 3k+1 = 3(3k)
  • 3k+1 > 3(1 + 2k) (hal tersebut dikarenakan 3k > 1 + 2k)
  • 3k+1 = 3 + 6k
  • 3k+1 > 3 + 2k (hal tersebut dikarenakan 6k > 2k)
  • 3k+1 = 1 + 2k + 2
  • 3k+1 = 1 + 2(k + 1)

Sehingga dari konsep induksi pertidaksamaan matematika diatas dapat terbukti jika P(n) bisa berlaku untuk seluruh bilangan asli n ≥ 2 dan juga P(k + 1) dapat dinyatakan benar.

 

 

Penerapan Induksi Matematika Dalam Kehidupan

Mungkin kalian bingung bukan mempelajari materi induksi matematika sebenarnya apa kegunaannya dalam hidup kita nantinya, memang ini seperti tidak akan digunakan dalam kehidupan sehari hari kita.

Namun terkadang tanpa disadari manusia menerapkan metode induksi matematika dalam suatu kegiatan / aktivitasnya. Berikut di bawah ini merupakan beberapa kegunaan Induksi Matematika bagi manusia.

  • Sebagai metode untuk melatih kita supaya bisa berpikir secara logis.
  • Sebagai salah satu teknik atau metode untuk membuktikan kebenaran mengenai suatu pernyataan yang ada.
  • Induksi matematika dapat digunakan untuk alat pembuktian pernyataan umum..
  • Induksi matematika bisa digunakan sebagai suatu metode untuk mengecek hasil dari suatu proses, dimana proses tersebut terjadi secara berulang kali dengan pola tertentu.

 

Baik seperti itulah artikel kali ini dari Pintarnesia mengenai materi Induksi Matematika dalam artikel yang berjudul Induksi Matematika: Pengertian, Materi, Contoh Soal dan Pembahasannya.

Mudah mudahan artikel ini bisa berguna untuk membantu teman teman semuanya belajar mengenai induksi matematika.

Mohon maaf apabila ada kesalahan kata atau kalimat dalam artikel ini, jika ada sesuatu yang ingin di sampaikan bisa teman teman tuliskan di kolom komentar yang tersedia tepat di bawah artikel ini.

Jangan lupa kunjungi juga artikel menarik lainnya di Pintarnesia ya, Terimakasih telah berkunjung di Pintarnesia.

Sandy Kurnia Fajar Hobi ngegame, jadi top player dan disayang mamah. Biar jadi orang yang berguna bagi banyak orang.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

DarkLight