Limit Fungsi Matematika: Tak Hingga, Trigonometri, Contoh Soal

By Hasif Priyambudi -

Limit Fungsi Matematika – Limit adalah sebuah konsep yang ada pada pelajaran matematika, limit biasanya digunakan untuk menerangkan suatu sifat dari suatu fungsi.

Seperti halnya pada saat sebuah argumen hampir mendekati suatu titik tak terhingga atau juga sifat dari suatu barisan saat indeks hampir mendekati titik tak terhingga.

Pada umumnya limit digunakan pada meteri kalkulus dan juga cabang lain dari matematika yang berfungsi untuk mencari suatu turunan dan juga lanjutan. Oleh karena itu pelajaran limit ini biasanya mulai diajarkan ketika sudah mencapai pengenalan materi kalkulus.

Limit Fungsi

Jika f(x) merupakan fungsi real dan dan c juga merupakan bilangan real, maka bentuk rumusnya adalah :

Materi Matematika Limit Terlengkap-1

Dengan menggunakan rumus di atas maka kita bisa membuat nilai f(x) menjadi sedekat mungkin dengan nilai L dengan cara membuat nilai x menjadi dekat dengan c.

Berdasarkan pengertian di atas, hasil dari limit f(x) jika nilai x mendekati c , adalah L. Oleh karena itu perlu ingat bahwa kalimat tersebut juga tetap berlaku walaupun f(c) ≠ L. Atau bahkan fungsi di dalam f(x) sudah tidak perlu lagi didefinisikan lagi dengan titik c.

Sedangkan berikut ini adalah contoh limit yang menggambarkan sifat, bentuk rumusnya adalah :

Materi Matematika Limit Terlengkap-2

Jika x mendekati 2. Maka berdasarkan contoh di atas , f(x) memiliki definisi yang sudah jelas berada pada titik-2 sehingga nilainya akan sama dengan limitnya yaitu 0.4 :

Materi Matematika Limit Terlengkap-3

Berdasarkan tabel di atas bisa kita lihat jika x mendekati 2, maka nilai yang dihasilkan oleh f(x) juga akan mendekati 0.4, oleh karena itu,

Materi Matematika Limit Terlengkap-4
Materi Matematika Limit Terlengkap-5

Pada x = c terdapat kasus

f yang disebut dengan kontinyu, akan tetapi hal tersebut tidak selalu belaku dalam kasus ini.
Sebagai contoh :

Materi Matematika Limit Terlengkap-4

Limit g(x) pada saat x mendekati 2 yaitu 0.4 sama halnya dengan f(x),

Materi Matematika Limit Terlengkap-6

g tidak kontinu pada titik x=2.

Atau dapat juga diambil contoh jika f(x) tidak terdefinisikan pada titik x = c :

Materi Matematika Limit Terlengkap-7

Berdasarkan dengan contoh di atas, pada saat x mendekati 1, f(x) tidak akan terdefinisikan pada titik x = 1 tetapi limitnya akan sama dengan 2, karena setiap x mendekati 1, maka f(x) juga akan semakin mendekati 2 :

Materi Matematika Limit Terlengkap-8

Dari sini bisa kita simpulkan bahwa :
Bahwa x bisa dibuat sedekat mungkin dengan nilai 1, tetapi asal tidak persis sama dengan 1, oleh karena itu limit dari f(x) adalah 2.

Difinisi Limit

Secara umum limit di definisikan jika f adalah fungsi yang telah didefinisikan oleh suatu interval terbuka dan mengandung c (dengan adanya kemungkinan pengecualian pada titik c) dan juga L merupakan bilang real. Sehingga :

Materi Matematika Limit Terlengkap-1

Sehingga untuk masing-masing ε > 0 akan diperolehkan ∂ > 0 untuk seluruh x dimana 0<|x-c|, sehingga akan berlaku |f(x)-L|< ε

Limit Sebuah Fungsi pada Titik Tak Hingga

Konsep yang dimiliki limit adalah ketika x mendekati bilangan tak terhingga, entah itu positif maupun negatif adalah konsep yang berhubungan dengan limit ketika mendekati suatu angka.

Tapi dengan adanya x mendekati tak terhingga bukan berarti selisih antara keduanya menjadi kecil, hal ini karena tak terhingga bukanlah suatu bilangan. Melainkan karena x menjadi sangat besar terhadap tak terhingga atau bahkan sangat kecil untuk tak terhingga negatif.

Berikut adalah limit fungsi pada sebuah titik tak terhingga :

Materi Matematika Limit Terlengkap-10
  • f(100) = 1.9802
  • f(1000) = 1.9980
  • f(10000) = 1.9998

Dari kesimpulan di atas bisa terlihat bahwa jika semakin besar jumlah x maka nilai f(x) yang dihasilkan juga akan semakin mendekati 2. Berdasarkan contoh di atas, maka :

Materi Matematika Limit Terlengkap-11

Limit Barisan

Perhatikan barisan berikut ini 1.99, 1.999, 1.9999, ….

Berdasarkan barisan dari berbagai angka di atas, semunya hampir mendekati angka 2 yang merupakan limit dari barisan tersebut.

Secara umum,  x1, x2, … adalah suatu bilangan real. Jika kita mengatakan bahwa bilangan real (L) adalah limitnya maka :

Materi Matematika Limit Terlengkap-12

Yang berarti untuk setiap bilangan real ε > 0 akan terdapat sebuah bilangan asli n sehingga : n > n, | xn − L| < ε.

Maka secara Intuitif atau bahwa pada akhirnya setiap elemen barisan yang ada akan mendekat ke limit yang telah di kehendaki, sebab nilai absolut |xn − L| adalah jarak antara x dengan L.

Asal kamu tahu bahwa, tidak semua barisan memiliki limit atau yang biasa di sebut dengan divergen, sedangkan sebuah barisan yang memiliki sebuah limit biasanya disebut dengan konvergen.

Tanda-tanda yang ditunjukkan bahwa barisan tersebut merupakan barisan konvergen adalah adanya sebuah limit dalam barisan tersebut.

Hubungan antara limit dengan limit fungsi sangatlah erat. Tetapi pada satu sisi, limit barisan hanyalah sebuah limit pada tak terhingga yang berasal dari sebuah fungsi yang telah didefinisikan oleh bilangan asli.

Meskipun begitu di sisi lain , limit dari suatu fungsi f terhadap x (jika ada), akan sama dengan limit barisan xn = f(x + 1/n).

Limit Fungsi Aljabar

Limit fungsi aljabar merupakan salah satu konsep dasar yang terdapat dalam kalkulus dan juga analisis, tentang kelakuan sebuah fungsi yang memasuki sebuah titik masukan tertentu.

Suatu fungsi yang memetakan keluaran berupa f(x) untuk setiap masukan x. Dengan L sebagai limit dari fungsi tersebut yang berada pada titik masukan p jika f(x) dekat dengan L pada saat x dekat dengan p.

Sehingga dengan kata lain , f(x) akan semakin dekat dengan L ketika x juga mendekati p.

Dan jika f diterapkan terhadap setiap masukan yang lumayan cukup dekat dengan p, maka hasilnya adalah keluaran (dengan cara sembarang) mendekati L.

Sedangkan jika masukan yang dekat dengan p ternyata dipetakan terhadap keluaran yang berbeda dengan fungsi f maka masukan tersebut tidak akan memiliki limit.

Konsep Limit Aljabar

Limit dapat kita definisikan sebagai sesuatu yang menuju batas atau sesuatu yang dekat namun kita tidak bisa meraihnya. Dalam matematika kondisi tersebut dinamakan dengan limit.

Sedangkan pengertian limit adalah suatu konsep yang terdapat di dalam matematika dimana sesuatu bisa dikatakan hampir atau sudah mendekati nilai suatu bilangan tertentu namun tidak bisa mencapai bilangan tersebut. Limit biasanya berwujud suatu fungsi yang kodomainnya sudah hampir atau mendekati suatu bilangan asli.

Tahukah kamu apa fungsi dari adanya limit? Limit berfungsi untuk mengungkap sebuah fungsi jika dalam fungsi tersebut terdapat sebuah batas tertentu yang hanya bisa didekati. Sedangkan tujuan dari mendekati fungsi tersebut adalah karena pada umumnya sebuah fungsi tidak terdefinisikan dalam titik-titik tertentu.

Meskipun pada sebuah fungsi sering kali tidak bisa diartikan terhadap titik tertentu, namun kita masih bisa mencari tahu berapakah nilai yang didekati oleh fungsi tersebut, dengan cara menggunakan limit. Dalam matematika, limit dapat di tulis sebagai berikut :

Materi Matematika Limit Terlengkap-13

Maksud dari rumus di atas adalah jika x akan mendekati a tapi x tidak sama dengan a maka f(x) akan mendekati L. Dari rumus limit tersebut juga kita bisa melihat bahwa pendekatan antara x ke a bisa di lihat dari dua sisi, yaitu dari sisi kanan dan juga dari sisi kiri atau dengan kata lain x bisa mendekati a dari arah kanan maupun kiri sehingga yang dihasilkan adalah limit kanan dan juga limit kiri.

Sehingga dari uraian di atas kita bisa mengambil kesimpulan dengan rumus di bawah ini:

Materi Matematika Limit Terlengkap-14

Sedangkan untuk grafiknya adalah berikut ini :

Materi Matematika Limit Terlengkap-15
  • Jika x mendekati 1 dari sisi kiri, maka nilai f(x) akan mendekati 2.
Materi Matematika Limit Terlengkap-16
  • Jika x mendekati 1 dari sisi kanan, maka nilai f(x) akan mendekati 2.
Materi Matematika Limit Terlengkap-17
  • Oleh karena itu, jika x mendekati 1, maka nilai yang dihasilkan f(x) akan mendekati 2.
Materi Matematika Limit Terlengkap-18

Teorema atau Pernyataan Limit

Materi Matematika Limit Terlengkap-19

Sebuah fungsi akan dinyatakan memiliki limit jika di antara limit kiri dan kanan memiliki nilai yang sama besar. Sebaliknya jika sebuah fungsi tidak memiliki limit kiri dan kanan yang besarnya tidak sama maka nilai limit tersebut tidak ada.

Seperti yang sudah dijelaskan di atas tadi, definisi dan teorema limit secara umum adalah batas. Mungkin pada saat guru kamu mengajarkannya di kelas, dia akan bilang bahwa limit merupakan suatu pendekatan.

Arti dari limit menyebutkan bahwa suatu fungsi f(x) akan melakukan pendekatan terhadap nilai tertentu ketika x juga mendekati nilai tertentu. Pendekatan antara dua bilangan yang positif dan sangat kecil disebut dengan Epsilon dan Delta.

Hubungan antara ke dua bilangan positif kecil tersebut akan terangkum pada gambar di bawah ini :

Materi Matematika Limit Terlengkap-20

Sifat Sifat Limit dalam Fungsi Aljabar

Jika n merupakan suatu bilangan bulat yang positif, k merupakan konstanta, lalu f dan g merupakan sebuah fungsi yang memiliki fungsi terletak di c, maka akan berlaku sifat di bawah ini :

Materi Matematika Limit Terlengkap-21

Macam Macam Cara Menyelesaikan Limit Aljabar

Ada beberapa cara yang bisa kita gunakan pada saat kita mendapatkan soal tentang limit aljabar, cara-cara tersebut di antaranya adalah :

  • Menggunakan substitusi
  • Menggunakan pemfaktoran
  • Melakukan pembagian dengan pangkat tertinggi dari penyebut
  • Melakukan pengalian dengan faktor sekawan

Berikut ini adalah penjelasan tentang cara-cara di atas :

Dalam menyelesaikan limit fungsi aljabar terdapat dua jenis, yaitu :

Yang pertama menggunakan :

Materi Matematika Limit Terlengkap-22

Yang kedua menggunakan :

Materi Matematika Limit Terlengkap-23

1. Metode Subtitusi

Pada saat kita menggunakan cara ini maka kita hanya perlu mengganti perubah yang sudah mendekati nilai tertentu dengan menggunakan fungsi aljabarnya.

Contoh :

Materi Matematika Limit Terlengkap-24

Materi Matematika Limit Terlengkap-24

Materi Matematika Limit Terlengkap-25

2. Metode Pemfaktoran

Metode ini digunakan jika pada saat menggunakan metode substitusi menghasilkan nilai limit namun tidak terdefinisikan. Sebagai contoh metode pemfaktoran adalah :

Materi Matematika Limit Terlengkap-26

Cara menggunakan metode ini adalah demam cara menentukan faktor persekutuan antara pembilang dengan penyebutnya.

3. Metode Membagi Pangkat Tertinggi dari Penyebut

Sebagai contoh adalah tentukanlah nilai limit fungsi pada aljabar dari limit di bawah ini :

Contoh Soal 1

Materi Matematika Limit Terlengkap-27

Besar pangkat pembilang dan penyebut dalam soal di atas adalah 2, sehingga :

Materi Matematika Limit Terlengkap-28

Sehingga, nilai dari limit fungsi tersebut adalah :

Materi Matematika Limit Terlengkap-29

Contoh Soal 2

Materi Matematika Limit Terlengkap-30

Besar pangkat pembilang dan penyebut yang terdapat pada soal di atas adalah 3, sehingga

Materi Matematika Limit Terlengkap-31

Jadi nilai yang dihasilkan oleh limit fungsi aljabar tersebut adalah :

Materi Matematika Limit Terlengkap-32

4. Metode Mengalikan dengan Faktor Sekawan

Metode ini dapat dipakai jika dalam mode substitusi maka akan langsung menghasilkan nilai limit yang rasional.

Fungsi tersebut akan di kalikan dengan akar sekawannya supaya bentuk limit yang dihasilkan tidak menjadi irasional, sehingga dapat dilakukan kembali substitusi secara langsung nilai x → c .

Sebagai contoh adalah penyelesaian soal di bawah ini.

Materi Matematika Limit Terlengkap-33

Baca Juga: Pengertian Bilangan Bulat.

Limit Fungsi Aljabar Tak Terhingga

Dalam melakukan pengoperasian limit fungsi aljabar, tak jarang juga kita menemui nilai x yang dapat mendekati Mali tak terhingga (∞). Oleh karena itu, apa bila disubsitusikan fungsi tersebut akan menghasilkan nilai yang tidak menentu.

Dalam melakukan pengopersian terhadap limit, ada beberapa hukum atau teorema limit yang harus kalian perhatikan. Seperti, apabila n adalah bilangan bulat, k merupakan konstanta, kemudian fungsi f dan fungsi g adalah fungsi yang mempunyai nilai limit yang hampir mendekati bilangan c, maka :

Materi Matematika Limit Terlengkap-34

Terdapat 2 cara yang bisa kita gunakan untuk menyelesaikan sebuah limit fungsi aljabar bentuk tak terhingga. Berikut adalah caranya :

1. Membagi dengan Pangkat Tertinggi

Metode ini bisa kita pakai dalam limit fungsi yang memiliki bentuk.

Cara yang dilakukan adalah dengan membagi pembilang dari f(x) serta penyebut dari g(x) dengan variabel xn yang memiliki pangkat paling tinggi dalam fungsi f(x) dan juga g(x). Setelah itu, baru bisa kita subtitusikan dengan x → ∞.

Berikut ini adalah contoh penyelesaian dari soalnya :

Materi Matematika Limit Terlengkap-36

2. Mengalikan Bentuk Sekawan

Metode ini digunakan pada limit fungsi yang memiliki bentuk

Materi Matematika Limit Terlengkap-37

cara ini bisa kita selesaikan menggunakan perkalian bentuk sekawan, yaitu :

Materi Matematika Limit Terlengkap-38

Kemudian dapat kita lanjutkan dengan membagikannya menggunakan metode pertama yaitu membaginya menggunakan pangkat tertinggi. Berikut adalah contoh cara penyelesaian dari soalnya :

Materi Matematika Limit Terlengkap-39

Yang selanjutnya adalah pembilang dan juga penyebut yang dibagi pada x yang memiliki pangkat tertinggi yaitu x1 :

Materi Matematika Limit Terlengkap-40

Limit Fungsi Trigonometri

Selain untuk menyelesaikan fungsi aljabar tak terhingga, limit juga dapat digunakan untuk fungsi trigonometri. Untuk penyelesaian fungsi trigonometri sama saja dengan cara penyelesaian fungsi aljabar.

Tetapi supaya kamu lebih paham dengan cara penyelesaian trigonometri kamu harus mengerti terlebih dahulu tentang konsep dari trigonometri terlebih dahulu.

Untuk menyelesaikan limit dalam fungsi trigonometri, kita harus melakukannya dengan melakukan perubahan ke dalam bentuk sinus, cosinus, tangen. Dalam limit fungsi trigonometri terdapat tiga bentuk umum, di antaranya adalah :

1. Bentuk

Materi Matematika Limit Terlengkap-41

Dalam bentuk ini, limit dari fungsi trigonometri f(x) merupakan hasil dari substitusi nilai c ke dalam x yang terdapat dalam trigonometri. Contoh :

Materi Matematika Limit Terlengkap-42

Berdasarkan nilai limit di atas, jika c = 0, maka rumus limit limit trigonometri yang dihasilkan adalah sebagai berikut :

Materi Matematika Limit Terlengkap-43

2. Bentuk 

Materi Matematika Limit Terlengkap-44

Pada bentuk yang kedua ini, limit akan didapatkan setelah melakukan perbandingan terhadap 2 trigonometri yang berbeda. Dari kedua trigonometri tersebut jika didistribusikan dengan nilai c, maka akan menghasilkan fungsi f(c) = 0 dan g(c) = 0.

Sehingga, nilai limit trigonometri yang dihasilkan menjadi bilangan yang tak menentu 0/0. dalam menyelesaikannya sama dengan cara menyelesaikan limit fungsi aljabar yaitu dengan menggunakan pemfaktoran.

Contohnya adalah sebagai berikut :

Materi Matematika Limit Terlengkap-46

3. Bentuk 

Materi Matematika Limit Terlengkap-47

Pada bentuk yang ketiga ini, limit di hasilkan dari perbandingan antara fungsi aljabar dengan fungsi trigonometri.

Apabila langsung disubtitusikan langsung maka akan menghasilkan bilangan yang tidak menentu. Dalam menyelesaikan menggunakan bentuk ini, kita harus mengerjakannya menggunakan konsep turunan. Bentuk rumus dasar dari limit yang satu ini adalah sebagai berikut :

Materi Matematika Limit Terlengkap-48

Dari rumus yang ada di atas bisa dikembangkan kembali menjadi beberapa rumus yang ada di bawah ini :

Materi Matematika Limit Terlengkap-49

Contoh Soal dan Pembahasan

Nah, setelah kita membahas mengenai limit, ada baiknya jika kita juga memberikan contoh soal beserta dengan penjelasannya, berikut ini adalah beberapa contoh soal dan pembahasan.

Cara Mengerjakan Limit Fungsi yang Tidak Terdefinisi

Ada saat tergantinya nilai x oleh a dalam lim f(x)  x→a yang akan membuat f(x) mempunyai nilai yang tidak terdefinisi, atau jika f(a) akan menghasilkan bentuk 0/0, ∞/∞ atau 0.∞.

Jika hal tersebut terjadi maka solusinya adalah bentuk f(x). Kamu bisa mencoba untuk menyederhanakannya agar nilai limit yang dihasilkan dapat ditentukan.

Limit Bentu 0/0

Pada bentuk limit 0/0 maka akan timbul kemungkinan pada ;

Materi Matematika Limit Terlengkap-50

Jika kamu menemukan bentuk limit seperti gambar di atas, maka kamu bisa mencoba untuk mengotak-atik fungsi tersebut hingga kita bisa mendapati ada beberapa bagian yang dapat kita coret.

Apabila bentuk persamaan kuadrat kita bisa mencoba untuk memfaktorkannya atau dengan cara melakukan asosiasi dan yang pasti jangan sampai lupa untuk menggunakan aturan  a2-b2 = (a+b) (a-b).

Berikut adalah contoh soal dan juga penyelesaiannya

Materi Matematika Limit Terlengkap-51

Bentuk ∞/∞

Bentuk ∞/∞ akan terjadi pada fungsi yang memiliki banyak suku (polinom) seperti berikut :

Materi Matematika Limit Terlengkap-52

Contoh Soal

Materi Matematika Limit Terlengkap-53

Jawaban

Materi Matematika Limit Terlengkap-54

Berikut ini adalah rumus cepat limit matematika yang dapat digunakan untuk limit yang berbentuk tak terhingga :

Materi Matematika Limit Terlengkap-55
  • Jika m<n maka L = 0
  • Jika m=n maka L = a/p
  • Jika m>n maka L = ∞

Bentuk Limit (∞-∞)

Limit dengan bentuk ini sangat sering muncul pada lembar soal ujian nasional. Bentuk soal yang ditanyakan juga sangat bermacam, akan tetapi cara untuk menyelesaikan soal tersebut tidak jauh berbeda dari penyederhanaan. Berikut ini adalah contoh soal yang telah keluar pada ujian nasional pada tahun 2013

Tentukan limit dari

Materi Matematika Limit Terlengkap-56

Jika kalian memasukan nilai x -> 1, maka bentuk limit yang akan dihasilkan adalah (∞-∞). Sehingga cara kita untuk menghilangkan bentuk (∞-∞) adalah dengan cara menyederhanakan bentuk tersebut menjadi ;

Materi Matematika Limit Terlengkap-57

Rumus Cepat Bentuk Limit Tak Terhingga

Rumus cepat untuk menyelesaikan bentuk limit tak terhingga ini hanya bisa kalian gunakan pada soal limit tak terhingga yang memiliki bentuk berupa pecahan.

Sedangkan untuk membuat limit tak terhingga menjadi sebuah bentuk pecahan kita hanya perlu memperhatikan pangkat tertinggi dari setiap bilangan dan penyebut yang ada. Ada tiga kemungkinan yang mungkin saja bisa terjadi :

  1. Pangkat tertinggi dari suatu pembilangan lebih kecil dari pada pangkat tertinggi yang dimiliki oleh penyebut.
  2. Pangkat tertinggi yang dimiliki oleh pembilangan sama dengan pangkat tertinggi yang dimiliki oleh penyebut.
  3. Pangkat tertinggi yang dimiliki oleh pembilang lebih tinggi dari pada pangkat tertinggi yang dimiliki oleh penyebut.

Rumus dari ketiga nilai tak terhingga berbentuk pecahan tersebut bisa kita lihat pada persamaan yang ada di bawah ini :

Materi Matematika Limit Terlengkap-58

Contoh Soal

Nilai Limit d Materi Matematika Limit Terlengkap-59 adalah…

A. – ∞
B. – 5
C. 0
D. 5
E. ∞

Pembahasan

Nilai yang memiliki pangkat tertinggi berada pada pembilang yaitu 3 dan nilai pangkat tertinggi yang dimiliki oleh penyebut adalah 2 (m>n). Sehingga limit yang dihasilkan adalah ∞.

Jawabannya : E

Nah, Itulah pembahasan singkat yang bisa kami sampaikan sampaikan saat ini tentang materi limit matematika. Semoga dengan adanya artikel ini dapat menambah wawasan kalian dan juga bisa dijadikan sebagai bahan pembelajaran kalian.

Hasif Priyambudi
Hasif Priyambudi
Aku tidak bisa mendengarmu spongebob, disini gelap

Artikel Terkait

Bilangan Asli
Bilangan Asli
Oleh Mexi
Bilangan Real
Bilangan Real
Oleh Mexi
Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Oleh Hasif Priyambudi
Rumus ABC
Rumus ABC
Oleh Hasif Priyambudi
Rumus Volume Balok: Cara Menghitung, Contoh Soal
Rumus Volume Balok: Cara Menghitung, Contoh Soal
Oleh Adi Catur Pamungkas
Diskon dan Persen
Diskon dan Persen
Oleh Hasif Priyambudi

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *