Program linear adalah salah satu materi dari matematika yang membahas mengenai pasal optimasi. Mengenai masalah yang ada pada program linear pada dasarnya akan berhubungan langsung dengan cara memaksimalkan untung atau bisa meminimalkan biaya dari produksi itu sendiri.
Dari sebuah program linear sendiri memiliki tujuan tersendiri antara lain tujuan dari program linear adalah untuk bisa mendapatkan perhitungan yang tepat yang berhubungan langsung dengan biaya yang akan di anggarkan. Sebelum kalian akan membahas mengenai materi linear matematika.
Maka alangkah baiknya bagi kalian untuk mengetahui terlebih dahulu apa saja yang ada di dalam program linear beserta pembahasannya.
Materi program linear yang akan kami bahas pada artikel kali ini akan menyangkur beberapa sistem pertidaksamaan linear, model, dan sistemnya. Oleh sebab itu simak baik baik ya penjelasan berikut ini!
Model Pertidaksamaan Linear
Persoalan di dalam program linear yang masih dinyatakan di dalam kalimat pernyataan umum, lalu di ubah menjadi model matematika.
Model dari matematika sendiri merupakan dari pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi dari matematika. Sebagai gambarannya, ada produsen sepatu yang membuat 2 model sepatu.
Nah darii dua model sepatu tersebut menggunakan 2 bahan yang berbeda antara a dan b. Lalu komposisi dari model yang pertama terdiri dari 200 gram bahan pertama dan bahan yang kedua terdiri dari 150 gram.
Lalu sedangkan dengan komposisi model yang yang kedua terdiri dari 180 gram bahan yang pertama dan bahan yang kedua terdiri dari 170 gram.
Dari persediaan di gudang pertama ialah 72 kilo gram dan bahan yang kedua sebesar 64 kilo gram. Harga dari model pertama ialah sebesar 500 ribu rupiah dan model kedua sebesar 400 ribu rupiah. Nah apabila kalian sederhanakan di dalam bentuk tabel akan menjadi seperti gambar dibawah ini.
Dengan peubah dari jumlah optimal model pertama ialah x dan model kedua ialah y. Hasil dari penjualan optimal ialah f ( x , y ) = 500.000 x + 400.000 y . dengan syarat sebagai berikut :
Model matematika untuk bisa memperoleh suatu jumlah penjualan maksimum maka menggunakan rumus = maksimum f ( x , y ) = 500.000 x + 400.000 y . dengan syarat sebagai berikut:
Baca Juga : Pertidaksamaan linear Satu Variabel
Nilai Optimum Fungsi Objektif
Fungsi adalah sebuah fungsi linear dan batasan batasan pertidaksamaan linear yang mempunyai himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian sendiri bisa berupa titik titik di dalam diagram cartesius yang apabila koordinatnya disubsitusikan ke dalam fungsi linear bisa memenuhi sebuah persyaratan yang akan ditentukan.
Pada nilai optimum fungsi dari objektif pada suatu persoalan linear yang bisa kalian tentukan dengan menggunakan metode grafik. Dengan melihat grafik fungsi objektif sendiri dan juga batasan batasannya bisa kita tentukan bahwa dengan letak titik yang menjadi nilai optimum. Berikut adalah langkah langkahnya:
- Menggambar himpunnan penyelesaian yang dari semua batasam syarat yang ada pada cartesius.
- Menentukan dari titik titik ekstrim yang adalah sebuah potongan garis batasan dengan garis batasan yang lain nya. Pada titik titik ekstrim itu adalah sebuah himpunan penyelesaian dari sebuah batasan yang ada kemungkinan bisa membuat fungsi menjadi optimum.
- Nilai optimum fungsi objektif ternyata ada dua cara sebagai berikut.
1. Dengan menggunakan garis selidik.
2. Dengan membandingkan nilai fungsi objektif pada tiap titik ekstrim.
Menggunakan Garis Selidik
Pada garis selidik akan di dapat dari sebuah fungsi objektif f ( x , y ) = a x + b y , yang dimana garis selidiknya ialah a x + b y = Z. Nah nilai z akan diberikan sembarang nilai. Pada garis tersebut dibuat setelah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan yang dibuat. Pada garis selidik yang awal dibuat pada area himpunan penyelesaian awal.
Lalu dibuat dengan garis garis yang sejajar dengan menggunakan garis selidik awal. Nah berikut merupakan pedoman untuk bisa mempermudah penyelidikan nilai fungsi optimum dengan berbagai syarat :
1. Cara yang pertama yaitu ( syarat a > 0 )
“Maksudnya apabila maksimum, maka nantinya akan dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga bisa membuat himpunan penyelesaian yang berada pada kiri garis tersebut. Lalu pada titik yang dilalui garis itu ialah sebuah titik maksimum.”
“Sedangkan apabila minimum, maka nantinya akan dibuat garis yang sejajar dengan garis selidik pada awal yang sehingga bisa membuat himpunan penyelesaian yang berada pada kanan garis itu, dan pada titik yang akan dilalui garis itu ialah sebuah titik minimu” berikut adalah gambaran ilustrasinya.
2. Cara yang kedua yaitu ( syarat b > 0 )
“Apabila maksimum, maka nantinya akan dibuat garis yang sejajar dengan gars selidik yang awalnya yang bisa membuat himpunan sebuah penyelesaian yang berada pada garis tersebut. Pada titik yang akan dilalui garis itu ialah sebuah titik maksimum”
“Sedangkan apabila minimum, maka bisa dibuat dengan garis yang sejajar maka garis selidik awal yang bisa membuat par himpunan penyelesaian berada pada garis atas itu. Titik pada yang dilalui garis itu ialah sebuah titik minimum” berikut adalah gambaran ilustrasinya.
Baca Juga : Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Membandingkan Nilai Fungsi Pada Titik Ekstrim
Yaitu bisa menyelidiki nilai optimum dari sebuah fungsi objektif yang bisa kalian lakukan dengan melebih dahulukan dengan menentukan titik titik potong pada garis garis batas yang ada. Titik titik pada potong itu adalah sebuah nilai ekstrim yang berpotensi mempunyai nilai maksimum yang ada pada titiknya.
Dengan berdasarkan tersebut maka titik titik itu akan ditentukan pada nilai pada masing masing fungsinya, lalu akan dibandingkan. Nah nilai terbesar adalah sebuah nilai maksimum dan nilai terkecil yang adalah sebuah nilai minimum.
Sistem Pertidaksamaan Linear
Sistem pertidaksamaan linear merupakan suatu pertidaksamaan yang berkombinasi operasi antar variabel yang akan ditandai dengan adanya simbol atau sebuah tanda (<) atau kurang dari, kurang sama dengan, (>) lebih dari, dan lebih sama dengan. Sedangkan untuk gabungan antara beberapa pertidaksamaan linear itu disebut dengan sistem pertidaksamaan linear.
Pada sistem pertidaksamaan linear yang ada pada program linear akan diajarkan pada tingkatan sekolah menengah ke atas atau SMA yang pada dasarnya akan melibatkan dua variabel dengan dua atau lebih pada pertidak samaan lienar.
Pada bagian tersebut bisa menjadi dasar untuk dapat menyelesaikan sebuah masalah yang saling berhubungan dengan program linear.
Ada salah satu hal paling penting di dalam sistem pertidaksamaan linar di dalam pembahasan tentang program linear adalah dapat dengan baik megilustrasikan garis. Lalu daerah yang memenuhi pada bidang kartesius. Pada bagian tersebut, kalian bisa fokus terhadap pelajaran tentang bagai manakah dua langkah itu.
Pada bagian ini akan menjadi dasar dari untuk bisa menyelesaikan problem yang akan berhubungan dengan program linear sendiri. Salah satu contoh langkah terpenting di dalam sistem pertidaksamaan linear di dalam pembahasan tentang program linear ialah dapat dengan cepat mengilustrasikan pada bidang kartesius.
Program linar adalah sebuah metode penentuan nilai optimum pada persoalan linear. Pada nilai optimum bisa di nilai dalam suatu himpunan penyelesaian persoalaan linear juga. Pada bagian tersebut, sudah dipastikan bahwa kalain akan fokus pada mempelajari tentang bagai mana menentuka langkah itu.
Sebelum kalian belajar lebih jauh maka akan kami ingat kembali bahwa sistem pertidaksamaan yag akan kami berikan contoh seperti gambar di bawah ini.
Cara Menggambar Persamaan Garis Lurus Dan Menentukan Daerah yang Memenuhi Syarat
Himpunan dari penyelesaian subuah pertidaksamaan linear dari dua peubah dapat kalian tentukan dengan cara menggunakan dibawah ini.
1. Gambar garis a x + b y = c di bidang kartesius.
2. Bisa kalian ambil sembarang titik untuk ( x 1, y 2 ) pada di luar garis a x + b y = c kemudian hitung nilai dari a x + b y kemudian bandingkan dengan nilai c.
- Saat a x + b y kurang dari sama dengan c maka daerah yang memuat x , y adalah sebuah daerah penyelesaian dari pertidaksamaan a x + b y kurang dari sama dengan c.
Ketika a x + b y lebih dari c maka daerah yang akan memuat x, y adalah daerah penyelesaian dari sebuah pertidaksamaan a x + b y lebih dari sama dengan c .
Cara Menyelesaikan Masalah Pada Program Linear
Cara menyelesaikan masalah pada program linear dapat disebut dengan sebuah proses berguna untuk mencari optimum dari sebuah pertidaksamaan. Nila itu dapat berwujud nilai maksimum atau juga minimum tergantung pada soal yang akan diberikan.
Pada dasarnya fungsi pada objektif dari sebuah model matematika adalah f ( x , y ) = a x + b y. Ada dua cara yang dapat kalian gunakan untuk bsa mencari nilai dari optimum pada program linear. Dua cara tersebut ialah metode uji titik pojok dan garis selidik.
1. Metode Uji TItik Pojok
Sama dengan namanya, bahwa metode uji titik pojok bisa digunakan dengan cara menghitung pada nilai fungsi dari tujuan titik pojok yang diperoleh. Titik pojok yang kami maksud ialah sebuah titik titik koordinat yang akan membatasi daerah layak pada sebuah sistem pertiddak samaan linear.
Ada beberapa tahapan yang bisa dilakukan untuk menentukan mana nilai optimum dengan bisa menggunakan beberapa metode uji titik pojok contohnya sebagai berikut ini :
- Bisa mencari dari berbagai garis sistem pertidaksamaan yang bisa menjadi fungsi dari pada kendala persoalaan yang akan diberikan.
- Dengan mencari berbagai titik pojok yang adalah sebuah koordinat pembatas daerah yang akan memenuhi fungsi kendala.
- Dengan menghitung nilai optimum f ( x, y ) dari titik titik pojok yang akan di dapat.
- Dengan memperoleh nilai maksimum atau minimum sesuai dengan permasalahannya.
2. Metode Garis Selidik
Selain menggunakan metode uji titik pjok maka cara yang lain dapat kalian gunakan untuk bisa mengetahui nilai optimum dengan menggunakan metode garis seldiik. Pada metode garis selidik, cara yang dapat digunakan ialah untuk mencari nilai optimum yang diperoleh dari persamaan fungsi objektif atau fungsi tujuannya.
Dan apabila fungsi tujuannya ialah memaksimalkan. Maka nilai dari optimum yang di peroleh dari titik yang paling akhir akan menyentuh garis selidik yang digeser pada arah kanan yang akan mendekati daerah layak.
Namun untuk nilai optimum bisa dengan fungsi tujuan meminimumkan bisa di peroleh dari titik koordinat yang pertama kali akan menyentuh geseran garis yang akan diselidik pada di geser ke arah kiri dan mendekati daerah layak.
Hal tersebut juga bisa berlaku untuk sebaliknya pula. nah berikut ini adalah sebuah tahapan untuk bisa menentukan nilai optimum dari sebuah fungsi objektif f ( x , y ) = a x + b y dengan dapat menggunakan metode garis selidik.
- Dengan mencari daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan yang akan diberikan.
- Dengan mencari garis selidik f ( x , y ) = a x + b y = k, dengan k adalah bilangan real.
Baca Juga : Rumus Barisan dan Deret
Contoh Soal Pertidaksamaan Linear
1. luas dari daerah parkir seluas 360 meter persegi, dan luas rata rata pada sebuah mobil yaitu 6 meter persegi dan luas rata rata bus yaitu 24 meter persegi. Nah daerah parkir itu bisa memuat paling tidak sebanyak 30 kendaraan roda empat bisa mobil dan bus. Apabila tarif parkir mobil dua ribu ripiah dan tarif parkir bus lima ribu rupiah maka pendapatan terbesar yang bisa diperoleh adalah??
Jawab
Akan kami misalkan bahwa x adalah banyak mobil sedangkan y adalah banyak bus.
Maka bisa diperoleh dari dua persamaan sebagai berikut ini:
Menentukan daerah yang akan memenuhi dari pertidaksamaannya yaitu
Maka aka ditentukan nilai maksimum dengan metode titik sudut sebagai berikut. Yaitu titik koordinat o, a dan c dapat kalian peroleh dengan melihat gambar di atas yaitu O (0,0), A(0,15) dan C (30,0). Untuk koordinatnya B kalian dapat peroleh dengan menggunakan metode eliminasi dan subtitusi berikut :
Subtitusi nilai y adalah 10 pada persamaan x + y = 30 untuk bisa memperoleh nilai x
Koordinat titik b adalah (20, 10)
Maka perhitungan keuntungan maksmal yang bisa diperoleh adalah sebagai berikut:
Nah itulah artikel mengenai program linear yang kami bahas dengan tuntas, semoga dengana artikel ini bisa membantu kalian, semoga sukses, dan kurang lebihnya mohon maaf terima kasih.