Barisan atau deret aritmatika merupakan salah satu materi matematika yang diajarkan di kelas 8. Apa kalian sudah pernah mempelajarinya? Banyak orang menganggap materi ini sulit untuk dipelajari, padahal faktanya barisan aritmatika adalah suatu hal yang sangat mudah.
Kenapa begitu? Jika kalian sudah memahami apa itu barisan aritmatika, maka untuk mengerjakan soal-soalnya adalah sesuatu yang gampang. Maka dari itu, mari kita mulai pembahasan kali ini dengan pengertian deret aritmatika, sifat, rumus, contoh soal dan jawabannya.
Pengertian Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah sebuah barisan bilangan yang antara satu dengan yang lainnya memiliki pola tetap baik berupa penjumlahan atau pengurangan. Artinya, antara angka atau yang biasa disebut sebagai suku yang berdekatan akan memiliki selisih yang sama. Dalam hal ini selisih akan disebut sebagai beda.
Contoh mudahnya seperti ini, sebuah deret aritmatika memiliki beda 2 dengan suku pertama adalah 1, maka akan menjadi :
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13… dst
Bisa kalian lihat antara angka/suku yang berdekatan memiliki selisih yang sama yaitu 2.
Contoh lainnya, misal baris artimatika memiliki beda 4, dengan suku pertama 2 maka akan menjadi seperti berikut :
2, 6, 10, 14, 18, 22, 26… dst.
Sampai disini kalian sudah mengerti apa itu deret aritmatika? Ternyata mudah bangetkan untuk memahaminya. Nah selanjutnya kita harus tahu tentang istilah dan simbol yang sering digunakan di dalam barisan aritmatika, seperti berikut ini :
- a : Suku Pertama
- b : Beda/Selisih Antara Suku
- Un : Suku ke-n
- Un-1 : Suku Sebelum n
Catatan : Maksud (n) disini merupakan urutan dari sebuah suku, misalnya Un adalah U5, maka ia merupakan suku kelima dalam sebuah deret aritmatika. Sudah pahamkan?
Baca Juga : Pengertian Aritmatika Sosial
Rumus Deret Aritmatika
Untuk rumus-rumus yang dipakai dalam materi ini ada beberapa bentuk. Tergantung tujuannya apakah ingin mencari jumlah nilai suku ke-n, nilai suku ke-n, nilai beda dll.
1. Rumus Suku ke-n
Rumus berikut ini digunakan untuk mencari nilai dari sebuah suku ke-n. Jadi misalnya kita memiliki deret aritmatika yang diketahui suku pertama dan bedanya. Maka kita bisa mencari nilai dari suku ke-n (misal suku ke-6 atau 10) dari sebuah baris aritmatika tersebut.
Untuk melakukanya, kita bisa menggunakan rumus berikut ini :
Keterangan :
Un : Nilai suku ke-n
a : Suku pertama
n : Bilangan bulat
b : Beda
Contoh Soal :
Diketahui sebuah deret 3, 6, 9, 12…, tentukan nilai dari suku ke 10 dalam baris aritmatika tersebut!
Diketahui :
Un : U10 (n = 10)
a : 3
b : 3
Jawab :
U10 = a + (n – 1) b
U10 = 3 + (10 – 1) 3
U10 = 3 + (9) 3
U10 = 3 + 27
U10 = 30
Jadi nilai suku ke-10 dari deret aritmatika tersebut adalah 30.
2. Rumus Beda Deret Aritmatika
Kita juga bisa mencari beda atau selisih antar suku baris aritmatika jika memang belum diketahui. Berikut ini rumus yang digunakan :
Keterangan :
Un : Suku ke-n
Un-1 : Suku sebelum n
Contoh Soal :
Perhatikan deret aritmatika berikut ini 4, 9, 14, 19, 24, 29…. Tentukan berapa bedanya!
Jawab :
Coba kita ambil 2 suku yang berdekatan yaitu U2 yang nilainya 9 dan U3 yang nilainya 14. Maka :
b = 14 – 9
b = 5
Jadi beda pada baris aritmatika diatas adalah 5.
3. Rumus Jumlah Suku ke-n
Rumus ini digunakan untuk menentukan jumlah nilai dari suku-suku sampai ke-n. Jadi asalkan mengetahui suku pertamanya, kita bisa menghitung hasil penjumlahan hingga ke urutan suku tertentu. Misalnya kita akan menghitung jumlah nilai hingga suku ke-10.
Untuk rumusnya adalah sebagai berikut :
Keterangan :
Sn : Jumlah Suku ke-n
n : Bilangan Bulat
a : Suku Awal
Un : Suku ke-n
Contoh Soal :
Apabila ada sebuah baris aritmatika 7, 13, 19, 25, 31…. Berapakah jumlah suku ke-10?
Diketahui :
a : 7
n : 10
b: 6
Jawab :
Karena disini kita belum tahu nilai U10, maka cari dulu dengan rumus yang pertama.
U10 = a + (n – 1) b
U10 = 7 + (10 – 1) 6
U10 = 7 + 9 (6)
U10 = 7 + 54
U10 = 61
Nah sekarang kita sudah tahu nilai U10 adalah 61, maka bisa dilanjutkan untuk mencari jumlah hingga suku ke-10 dalam deret aritmatika diatas.
Sn = n/2 (a + Un)
S10 = 10/2 (7 + 61)
S10 = 5 (68)
S10 = 340
Jadi jumlah suku ke-10 baris aritmatika diatas adalah 340.
4. Rumus Suku Tengah
Selanjutnya ada rumus yang digunakan untuk mencari suku yang berada di tengah antara 2 suku tertentu. Misalnya kita cari suku tengah antara suku pertama dan suku ke 5. Untuk rumusnya sebagai berikut :
Keterangan :
U1 : Suku pertama
Un : Suku ke-n
Contoh Soal :
Perhatikan deret aritmatika berikut, 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31. Tentukan suku tengah antara suku pertama dan suku kelima!
Diketahui :
U1 : 3
U5 : 19
Jawab :
Ut = 1/2 (U1 + U5)
Ut = 1/2 (3 + 19)
Ut = 1/2 (22)
Ut = 11
Jadi suku tengah antara suku pertama dan suku ke-5 adalah 11.
Baca Juga : Barisan Deret Aritmatika dan Geometri.
Sifat-Sifat Deret Aritmatika
Dari sebuah baris aritmatika, kita bisa menurunkan beberapa macam sifat diantaranya :
1. Sifat Pertama
Apabila x, y dan z adalah bilangan bulat yang berurutan satu sama lain dalam deret aritmatika, maka berlaku :
“Bilangan yang ditengah apabila dikali 2, maka akan sama dengan jumlah antara bilangan pertama dan ketiga”.
Sehingga akan berlaku :
2. Sifat Kedua
Apabila w, x, y dan z adalah bilangan berurutan dalam sebuah deret aritmatika, maka berlaku :
“Jumlah 2 bilangan yang berada di tengah sama dengan jumlah 2 bilangan lain yang ada di sisi sampingnya”
Jadi akan berlaku :
3. Sifat Ketiga
Apabila U merupakan suku ke-n dalam deret aritmatika, maka berlaku :
“Selisih antara jumlah n suku pertama dan jumlah n – 1 suku pertama adalah suku ke-n”
Sehingga akan menjadi :
Baca Juga : Operasi Aritmatika
Demikian pembahasan tentang pengertian deret aritmatika, rumus, sifat, contoh soal beserta jawabannya. Semoga penjelasan diatas dapat dengan mudah dimengerti serta dipahami. Bagaimana, ternyata gampang bangetkan materi ini? Jika ada kritik, saran atau pertanyaan silahkan berkomentar di bawah.