√ Trigonometri: Rumus, Turunan, Tabel dan Contoh Soal Trigonometri

Trigonometri: Rumus, Turunan, Tabel dan Contoh Soal Trigonometri

Trigonometri: Rumus, Turunan, Tabel dan Contoh Soal Trigonometri

Trigonometri berasal dari bahasa Yunani, yang terdiri dari trigonon yang artinya tiga sudut dan metro yang artinya mengukur. trigonometri merupakan salah satu cabang matematika yang berkaitan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometri. sudut segitiga meliputi sinus (sin), kosinus (cos), dan tangen (tan).

 

Pengertian Trigonometri

Pengertian Trigonometri adalah salah satu cabang ilmu matematika yang mempelajari sudut, sisi, dan perbandingan antara sisi dan sudut. trigonometri dalam bahasa Yunani berarti ukuran – ukuran dalam sudut tiga atau segitiga. Jadi, dasar yang digunakan dalam ilmu trigonometri adalah bangun datar segitiga. Kali ini, Pintarnesia akan membahas mengenai materi trigonometri yang meliputi sejarah, rumus yang digunakan,  hingga beberapa contoh soal trigonometri.

 

 

Sejarah Trigonometri

Awalnya trigonometri dapat ditemukan pada 3000 tahun lalu di zaman Mesir Kuno, Babilonia, dan peradaban Lembah Indus. Lagadha adalah seorang matematikawan India yang merintis penghitungan variabel aljabar yang dapat dipakai dalam menghitung astronomi dan trigonometri. Beliau memanfaatkan geometri dan trigonometri untuk menghitung astronomi yang dimuat dalam bukunya yang berjudul Vedanga, Jyotisha.

Namun istilah Sinus, Cosinus, dan Tangen lebih tua daripada istilah Trigonometri itu sendiri pada sejarah penemuannya. Istilah Trigonometri pertama kali dipakai pada tahun 1595. Untuk istilah Sinus, Cosinus, dan Tangen sendiri telah dipakai pada tahun 600-an.

Arti kata sinus jauh dari konsep trigonometri. Dalam bahasa latin Sinus berarti buah dada. Kemudian berkembang menjadi Sine dalam bahasa Inggris. Maka, jangan heran jika menemukan kata sinus dalam bahasa latin yang berarti buah dada. Dan barulah berkembang kata cosinus (complementary sinus).

Sementara itu tangen berasal dari kata Tangere yang berarti menyentuh. Bermula dari konsep garis AB yang menyentuh garis lingkaran di A. Tangen merupakan perbedaan pada garis AB dan AO dalam sudut BOA.

Seorang matematikawan Yunani yang bernama Hipparchus sekitar tahun 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segitiga. Dan matematikawan Yunani lainnya yang bernama Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan perhitungan trigonometri secara lebih lanjut.

Pada tahun 499, Aryabhata yang seorang matematikawan India menciptakan jadual – jadual separuh peretas yang kini dikenal sebagai jadual sinus dan jadual cosinus. Beliau memakai zya untuk sinus, kotizya untuk cosinus, dan otkram zya untuk sinus songsang. Beliau juga memperkenalkan versinus.

Pada tahun 628, Brahmagupta yang seorang matematikawan India menggunakan formula interpolasi untuk menghitung nilai sinus, sehingga peringkat kedua untuk formula interpolasi Newton-Stirling. Omar Khayyam (1048 – 1131) yang merupakan ahli matematik Parsi menggabungkan trigonometri dan teori penghampiran untuk memberikan berbagai kaidah guna menyelesaikan persamaan algebra melalui min geometri.

Khayyam berhasil menyelesaikan persamaan kuasa tiga, x3 + 200x = 20.2 + 2000. Dan memperoleh puncak positif untuk kuasa tiga ini melalui persilangan hiperbola segi empat tepat dan bulatan. Dalam penyelesaian angka hampiran dapat diperoleh melalui interpolasi dalam jadual – jadual trigonometri.

Bhaskara, seorang matematikawan India memberikan berbagai kaidah perinci yang digunakan dalam membina jadual sinus untuk mana – mana satu sudut. Ia bersama dengan setengah formula sinus dan kosinus. Beliau pun kemudian mengembangkan trigonometri sfera.

Nasir al-Din Tusi yang seorang ahli matematik Parsi bersama dengan Bhaskara mungkin adalah orang – orang pertama yang mampu mengolah trigonometri sebagai satu disiplin matematika dengan nilai yang berlainan. Pada abad ke-14, al-Kashi yang merupakan seorang ahli matematik Silesia menerbitkan karya trigonometri pada tahun 1595 yang memperkenalkan istilah “trigonometri” dalam bahasa Inggris dan bahasa Perancis.

 

Pengukuran Sudut

Setelah mengetahui sejarah dari trigonometri, lanjut membahas mengenai pengukuran sudut. Pengukuran sudut adalah salah satu hal penting dalam pengukuran dan pemetaan kerangka ataupun titik – titik detail.

Sistem besaran sudut yang digunakan tidak sama antara satu dengan yang lain. Sistem besaran sudut dalam pemetaan dan pengukuran dibedakan menjadi 3. Antara lain sebagai berikut.

  1. Sistem besaran sudut seksagesimal, yaitu sistem bilangan yang menggunakan angka 60 sebagai dasarnya. Caranya, membagi lingkaran menjadi 360 bagian yang sama besar dan tiap bagian disebut dengan derajat.
  2. Sistem besaran sudut sentisimal, yaitu sistem besaran yang disajikan dalam besaran grid, centigrid, dan centi-centigrid. Caranya, membagi lingkaran menjadi 400 bagian, sehingga 1 kuadran mempunyai 100 bagian yang disebut grid. 1 grid dibagi lagi dalam 100 centigrid dan 1 centigrid dibagi menjadi 100 centi-centigrid.
  3. Sistem besaran sudut radian, yaitu sistem besaran yang disajikan dalam sudut panjang busur.  Sudut pusat dalam lingkaran yang memiliki busur sama dengan jari – jari lingkaran adalah sebesar 1 radian. Karena keliling lingkaran ada 2 π rad.

Hubungan ukuran derajat dengan ukuran radian :

1° = π/180° rad

1 rad = 180°/π

Dasar pengukuran besaran sudutnya sama dengan yang ada pada sebuah lingkaran yang terbagi menjadi 4 bagian. bagian tersebut yang dinamakan sebagai kuadran. terdiri dari kuadran I, II, III, dan IV.

 

 

Trigonometri dalam Segitiga Siku – Siku

Segitiga siku – siku adalah jenis segitiga yang salah satu sudutnya 90°. Segitiga siku – siku memiliki sisi miring atau dapat disebut juga hipotenusa. Kuadrat sisi miring adalah jumlah dari kuadrat kedua sisi lainnya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut ini.

Setelah memahami posisi sisi dalam sudut a, Kalian juga perlu mengetahui perbandingan sisi – sisi dalam trigonometri. Berikut definisi perbandingan trigonometri sudut siku – siku.

 

 

Perbandingan Trigonometri untuk Sudut Istimewa.

Sudut istimewa dalam trigonometri meliputi 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°. berikut tabel perbandingan yang dapat memudahkan kalian dalam mengingat dan menemukan hasilnya. terdiri atas 2 jenis tabel istimewa.

Tabel Perbandingan Sudut Istimewa Trigonometri I

Sebelum kalian mengetahui tabel perbandingannya, perlu diketahui apa itu sinus, cosinus, dan tangen. Pengertiannya ada di bawah ini.

  • Sin (Sinus), yaitu perbandingan antara panjang sisi siku – siku dihadapan sudut a (sisi depan) dengan sisi miring. Berikut rumus sudut istimewa sinus.
  • Cos (Cosinus), yaitu perbandingan antara panjang sisi siku – siku yang mengapit sudut a (sisi samping) dengan sisi miring. Berikut rumus sudut istimewa cosinus.

  • Tan (Tangen) , yaitu perbandingan antara panjang sisi siku – siku dihadapan sudut a (sisi depan) dengan sisi siku – siku yang mengapit sudut a (sisi samping). Tangen dapat dicari hasilnya dengan cara sin a dibagi cos a. Seperti gambar berikut.

Tabel Perbandingan Sudut Istimewa Trigonometri II

tabel perbandingan yang ke dua ini merupakan pengembangan dari tabel pertama yaitu meliputi cosec, sec, dan cotan. Bagi kalian yang belum mengetahui apa itu cosec, sec, dan cotan, Kami akan memaparkan pengertiannya di bawah ini.

  • Cosec (cosekan), yaitu perbandingan antara panjang sisi miring dengan panjang sisi siku – siku dihadapan sudut a (sisi depan). Cosec merupakan kebalikan dari sin.
  • Sec (sekan), yaitu perbandingan antara panjang sisi miring dengan sisi siku – siku yang mengapit sudut a (sisi samping). Sec merupakan kebalikan dari cos.
  • Cot (cotangen), yaitu perbandingan antara panjang sisi siku – siku yang mengapit sudut a (sisi samping) dengan panjang sisi dihadapan sudut a (sisi depan). Cot merupakan kebalikan dari tangen.

Perbandingan Sudut dan Relasi dalam Trigonometri

Perbandingan sudut dan relasi trigonometri adalah perluasan dari definisi dasar trigonometri mengenai kesebangunan dalam segitiga siku – siku yang hanya memenuhi sudut di kuadran I. Sudut lancip hanya kisaran (0 – 90°).

 

 

Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri merupakan kesamaan yang mengandung perbandingan trigonometri di suatu sudut. identitas trigonometri dapat menggambarkan kebenarannya melalui 3 cara, yaitu :

  1. Menyederhanakan ruas kiri dengan menggunakan identitas sebelumnya sehingga bentuknya sama dengan ruas kanan.
  2. Menyederhanakan ruas kanan sehingga menjadi bentuk yang sama dengan ruas kiri.
  3. Mengubah ruas kanan dan ruas kiri kedalam bentuk yang sama.

Untuk lebih detail mengenai rumus identitas trigonometri, mari simak baik – baik penjelasan di bawah ini.

Rumus Identitas Trigonometri

#1. Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Pada Sinus, rumus jumlah dan selisih adalah sebagai berikut.

sin(X + Y) = sinXcosY + cosXsinY

sin(X – Y) = sinXcosY  – cosXsinY

Pada Cosinus, rumus jumlah dan selisih adalah sebagai berikut.

cos(X + Y) = cosXcosY – sinXsinY

cos(X – Y) = cosXcosY + sinXsinY

Pada Tangen, rumus jumlah dan selisih adalah sebagai berikut.

tan(X + Y) =

tan(X – Y) =

#2. Rumus Sudut Rangkap

Untuk A = B, dapat menggunakan rumus sin (X + Y) seperti berikut.

Sebelum membuktikan 2 rumus yang lain, ingat kembali rumus identitas trigonometri di bawah ini.

Untuk A = B, dapat menggunakan rumus cos (X + Y) yang memiliki 3 cara penyelesaian seperti gambar berikut.

  1. Cara 1 :
  2. Cara 2 :
  3. Cara 3 :

Untuk A = B, dapat menggunakan rumus tan (X + Y) seperti berikut.

#3. Rumus Perkalian Trigonometri

Rumus perkalian sinus dan cosinus diperoleh dari penjumlahan dan pengurangan rumus sudut rangkap diatas. Maka menghasilkan rumus seperti di bawah ini.

#4. Rumus Jumlah dan Selisih Trigonometri

#5. Rumus Setengah Sudut Trigonometri

 

 

Contoh Soal

#1. Diketahui a dan b adalah sudut lancip dan X – Y = 30°. Jika sinXcosY = 1/3 , maka nilai dari sinXcosY adalah …

Jawab:

#2. Tentukan nilai fungsi cosinus sudut 60° dengan menggunakan rumus pada sudut rangkap!

Jawab :

Sekian yang dapat Pintarnesia sampaikan tentang trigonometri mulai dari rumus trigonometri, tabel trigonometri, turunan dan contoh soal, semoga dapat membantu kalian dalam memahami materi trigonometri dan mengerjakan soal trigonometri. bila ada kesalahan mohon dimaafkan dan dimaklumi.



Pengertian Integral Tentu, Tak Tentu, dan Trigonometri serta Contoh Soal dan Rumus Integral!

Pengertian Integral Tentu, Tak Tentu, dan Trigonometri serta Contoh Soal dan Rumus Integral!

Trigonometri berasal dari bahasa Yunani, yang terdiri dari trigonon yang artinya tiga sudut dan metro yang artinya mengukur. trigonometri merupakan salah satu cabang matematika yang berkaitan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometri. sudut segitiga meliputi sinus (sin), kosinus (cos), dan tangen (tan).

 

Pengertian Trigonometri

Pengertian Trigonometri adalah salah satu cabang ilmu matematika yang mempelajari sudut, sisi, dan perbandingan antara sisi dan sudut. trigonometri dalam bahasa Yunani berarti ukuran – ukuran dalam sudut tiga atau segitiga. Jadi, dasar yang digunakan dalam ilmu trigonometri adalah bangun datar segitiga. Kali ini, Pintarnesia akan membahas mengenai materi trigonometri yang meliputi sejarah, rumus yang digunakan,  hingga beberapa contoh soal trigonometri.

 

 

Sejarah Trigonometri

Awalnya trigonometri dapat ditemukan pada 3000 tahun lalu di zaman Mesir Kuno, Babilonia, dan peradaban Lembah Indus. Lagadha adalah seorang matematikawan India yang merintis penghitungan variabel aljabar yang dapat dipakai dalam menghitung astronomi dan trigonometri. Beliau memanfaatkan geometri dan trigonometri untuk menghitung astronomi yang dimuat dalam bukunya yang berjudul Vedanga, Jyotisha.

Namun istilah Sinus, Cosinus, dan Tangen lebih tua daripada istilah Trigonometri itu sendiri pada sejarah penemuannya. Istilah Trigonometri pertama kali dipakai pada tahun 1595. Untuk istilah Sinus, Cosinus, dan Tangen sendiri telah dipakai pada tahun 600-an.

Arti kata sinus jauh dari konsep trigonometri. Dalam bahasa latin Sinus berarti buah dada. Kemudian berkembang menjadi Sine dalam bahasa Inggris. Maka, jangan heran jika menemukan kata sinus dalam bahasa latin yang berarti buah dada. Dan barulah berkembang kata cosinus (complementary sinus).

Sementara itu tangen berasal dari kata Tangere yang berarti menyentuh. Bermula dari konsep garis AB yang menyentuh garis lingkaran di A. Tangen merupakan perbedaan pada garis AB dan AO dalam sudut BOA.

Seorang matematikawan Yunani yang bernama Hipparchus sekitar tahun 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segitiga. Dan matematikawan Yunani lainnya yang bernama Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan perhitungan trigonometri secara lebih lanjut.

Pada tahun 499, Aryabhata yang seorang matematikawan India menciptakan jadual – jadual separuh peretas yang kini dikenal sebagai jadual sinus dan jadual cosinus. Beliau memakai zya untuk sinus, kotizya untuk cosinus, dan otkram zya untuk sinus songsang. Beliau juga memperkenalkan versinus.

Pada tahun 628, Brahmagupta yang seorang matematikawan India menggunakan formula interpolasi untuk menghitung nilai sinus, sehingga peringkat kedua untuk formula interpolasi Newton-Stirling. Omar Khayyam (1048 – 1131) yang merupakan ahli matematik Parsi menggabungkan trigonometri dan teori penghampiran untuk memberikan berbagai kaidah guna menyelesaikan persamaan algebra melalui min geometri.

Khayyam berhasil menyelesaikan persamaan kuasa tiga, x3 + 200x = 20.2 + 2000. Dan memperoleh puncak positif untuk kuasa tiga ini melalui persilangan hiperbola segi empat tepat dan bulatan. Dalam penyelesaian angka hampiran dapat diperoleh melalui interpolasi dalam jadual – jadual trigonometri.

Bhaskara, seorang matematikawan India memberikan berbagai kaidah perinci yang digunakan dalam membina jadual sinus untuk mana – mana satu sudut. Ia bersama dengan setengah formula sinus dan kosinus. Beliau pun kemudian mengembangkan trigonometri sfera.

Nasir al-Din Tusi yang seorang ahli matematik Parsi bersama dengan Bhaskara mungkin adalah orang – orang pertama yang mampu mengolah trigonometri sebagai satu disiplin matematika dengan nilai yang berlainan. Pada abad ke-14, al-Kashi yang merupakan seorang ahli matematik Silesia menerbitkan karya trigonometri pada tahun 1595 yang memperkenalkan istilah “trigonometri” dalam bahasa Inggris dan bahasa Perancis.

 

Pengukuran Sudut

Setelah mengetahui sejarah dari trigonometri, lanjut membahas mengenai pengukuran sudut. Pengukuran sudut adalah salah satu hal penting dalam pengukuran dan pemetaan kerangka ataupun titik – titik detail.

Sistem besaran sudut yang digunakan tidak sama antara satu dengan yang lain. Sistem besaran sudut dalam pemetaan dan pengukuran dibedakan menjadi 3. Antara lain sebagai berikut.

  1. Sistem besaran sudut seksagesimal, yaitu sistem bilangan yang menggunakan angka 60 sebagai dasarnya. Caranya, membagi lingkaran menjadi 360 bagian yang sama besar dan tiap bagian disebut dengan derajat.
  2. Sistem besaran sudut sentisimal, yaitu sistem besaran yang disajikan dalam besaran grid, centigrid, dan centi-centigrid. Caranya, membagi lingkaran menjadi 400 bagian, sehingga 1 kuadran mempunyai 100 bagian yang disebut grid. 1 grid dibagi lagi dalam 100 centigrid dan 1 centigrid dibagi menjadi 100 centi-centigrid.
  3. Sistem besaran sudut radian, yaitu sistem besaran yang disajikan dalam sudut panjang busur.  Sudut pusat dalam lingkaran yang memiliki busur sama dengan jari – jari lingkaran adalah sebesar 1 radian. Karena keliling lingkaran ada 2 π rad.

Hubungan ukuran derajat dengan ukuran radian :

1° = π/180° rad

1 rad = 180°/π

Dasar pengukuran besaran sudutnya sama dengan yang ada pada sebuah lingkaran yang terbagi menjadi 4 bagian. bagian tersebut yang dinamakan sebagai kuadran. terdiri dari kuadran I, II, III, dan IV.

 

 

Trigonometri dalam Segitiga Siku – Siku

Segitiga siku – siku adalah jenis segitiga yang salah satu sudutnya 90°. Segitiga siku – siku memiliki sisi miring atau dapat disebut juga hipotenusa. Kuadrat sisi miring adalah jumlah dari kuadrat kedua sisi lainnya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut ini.

Setelah memahami posisi sisi dalam sudut a, Kalian juga perlu mengetahui perbandingan sisi – sisi dalam trigonometri. Berikut definisi perbandingan trigonometri sudut siku – siku.

 

 

Perbandingan Trigonometri untuk Sudut Istimewa.

Sudut istimewa dalam trigonometri meliputi 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°. berikut tabel perbandingan yang dapat memudahkan kalian dalam mengingat dan menemukan hasilnya. terdiri atas 2 jenis tabel istimewa.

Tabel Perbandingan Sudut Istimewa Trigonometri I

Sebelum kalian mengetahui tabel perbandingannya, perlu diketahui apa itu sinus, cosinus, dan tangen. Pengertiannya ada di bawah ini.

  • Sin (Sinus), yaitu perbandingan antara panjang sisi siku – siku dihadapan sudut a (sisi depan) dengan sisi miring. Berikut rumus sudut istimewa sinus.
  • Cos (Cosinus), yaitu perbandingan antara panjang sisi siku – siku yang mengapit sudut a (sisi samping) dengan sisi miring. Berikut rumus sudut istimewa cosinus.

  • Tan (Tangen) , yaitu perbandingan antara panjang sisi siku – siku dihadapan sudut a (sisi depan) dengan sisi siku – siku yang mengapit sudut a (sisi samping). Tangen dapat dicari hasilnya dengan cara sin a dibagi cos a. Seperti gambar berikut.

Tabel Perbandingan Sudut Istimewa Trigonometri II

tabel perbandingan yang ke dua ini merupakan pengembangan dari tabel pertama yaitu meliputi cosec, sec, dan cotan. Bagi kalian yang belum mengetahui apa itu cosec, sec, dan cotan, Kami akan memaparkan pengertiannya di bawah ini.

  • Cosec (cosekan), yaitu perbandingan antara panjang sisi miring dengan panjang sisi siku – siku dihadapan sudut a (sisi depan). Cosec merupakan kebalikan dari sin.
  • Sec (sekan), yaitu perbandingan antara panjang sisi miring dengan sisi siku – siku yang mengapit sudut a (sisi samping). Sec merupakan kebalikan dari cos.
  • Cot (cotangen), yaitu perbandingan antara panjang sisi siku – siku yang mengapit sudut a (sisi samping) dengan panjang sisi dihadapan sudut a (sisi depan). Cot merupakan kebalikan dari tangen.

Perbandingan Sudut dan Relasi dalam Trigonometri

Perbandingan sudut dan relasi trigonometri adalah perluasan dari definisi dasar trigonometri mengenai kesebangunan dalam segitiga siku – siku yang hanya memenuhi sudut di kuadran I. Sudut lancip hanya kisaran (0 – 90°).

 

 

Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri merupakan kesamaan yang mengandung perbandingan trigonometri di suatu sudut. identitas trigonometri dapat menggambarkan kebenarannya melalui 3 cara, yaitu :

  1. Menyederhanakan ruas kiri dengan menggunakan identitas sebelumnya sehingga bentuknya sama dengan ruas kanan.
  2. Menyederhanakan ruas kanan sehingga menjadi bentuk yang sama dengan ruas kiri.
  3. Mengubah ruas kanan dan ruas kiri kedalam bentuk yang sama.

Untuk lebih detail mengenai rumus identitas trigonometri, mari simak baik – baik penjelasan di bawah ini.

Rumus Identitas Trigonometri

#1. Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Pada Sinus, rumus jumlah dan selisih adalah sebagai berikut.

sin(X + Y) = sinXcosY + cosXsinY

sin(X – Y) = sinXcosY  – cosXsinY

Pada Cosinus, rumus jumlah dan selisih adalah sebagai berikut.

cos(X + Y) = cosXcosY – sinXsinY

cos(X – Y) = cosXcosY + sinXsinY

Pada Tangen, rumus jumlah dan selisih adalah sebagai berikut.

tan(X + Y) =

tan(X – Y) =

#2. Rumus Sudut Rangkap

Untuk A = B, dapat menggunakan rumus sin (X + Y) seperti berikut.

Sebelum membuktikan 2 rumus yang lain, ingat kembali rumus identitas trigonometri di bawah ini.

Untuk A = B, dapat menggunakan rumus cos (X + Y) yang memiliki 3 cara penyelesaian seperti gambar berikut.

  1. Cara 1 :
  2. Cara 2 :
  3. Cara 3 :

Untuk A = B, dapat menggunakan rumus tan (X + Y) seperti berikut.

#3. Rumus Perkalian Trigonometri

Rumus perkalian sinus dan cosinus diperoleh dari penjumlahan dan pengurangan rumus sudut rangkap diatas. Maka menghasilkan rumus seperti di bawah ini.

#4. Rumus Jumlah dan Selisih Trigonometri

#5. Rumus Setengah Sudut Trigonometri

 

 

Contoh Soal

#1. Diketahui a dan b adalah sudut lancip dan X – Y = 30°. Jika sinXcosY = 1/3 , maka nilai dari sinXcosY adalah …

Jawab:

#2. Tentukan nilai fungsi cosinus sudut 60° dengan menggunakan rumus pada sudut rangkap!

Jawab :

Sekian yang dapat Pintarnesia sampaikan tentang trigonometri mulai dari rumus trigonometri, tabel trigonometri, turunan dan contoh soal, semoga dapat membantu kalian dalam memahami materi trigonometri dan mengerjakan soal trigonometri. bila ada kesalahan mohon dimaafkan dan dimaklumi.